内积

定义

∀x,y∈Rn,⟨x,y⟩=∑ni=1xiyi∀x,y∈Rn,⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb R^n, \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i = 1}^{n} x_i y_i

性质

∀x,y∈Rn,λ,μ∈R,∀x,y∈Rn,λ,μ∈R,\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb R^n, \lambda, \mu \in \mathbb R,
1. 正定性 ⟨x,x⟩≥0,⟨x,x⟩=0⇔x=0⃗ ⟨x,x⟩≥0,⟨x,x⟩=0⇔x=0→\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \ge 0, \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \vec {0}
2. 对称性 ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩⟨x,y⟩=⟨y,x⟩\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle
3. 线性性 ⟨λx+μy,z⟩=λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩⟨λx+μy,z⟩=λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩\langle \lambda \mathbf{x} + \mu \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle = \lambda \langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle + \mu \langle \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle
4. Schwarz不等式 ⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩{ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle

Schwarz不等式

⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩{ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle

证明：

(1) x=0⃗ x=0→\mathbf{x} = \vec {0} 时，不等式显然成立。
(2) x≠0⃗ x≠0→\mathbf{x} \neq \vec {0} 时：
∀λ∈R,⟨λx+y,λx+y⟩=λ2⟨x,x⟩+2λ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩≥0∀λ∈R,⟨λx+y,λx+y⟩=λ2⟨x,x⟩+2λ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩≥0\forall \lambda \in \mathbb R, \langle \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y}, \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y} \rangle = \lambda^2 \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle + 2 \lambda \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \ge 0
⇒4⟨x,y⟩2−4⟨x,x⟩⟨y,y⟩≤0⇒4⟨x,y⟩2−4⟨x,x⟩⟨y,y⟩≤0 { \Rightarrow 4 \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 - 4 \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \le 0
⇒⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩⇒⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩ \Rightarrow { \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle
等式成立 ⇔⟨λx+y,λx+y⟩=0⇔⟨λx+y,λx+y⟩=0\Leftrightarrow \langle \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y}, \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y} \rangle = 0 有解 ⇔λx+y=0⃗ ⇔λx+y=0→\Leftrightarrow \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y} = \vec {0} 有解 ⇔y⇔y\Leftrightarrow \mathbf{y} 可由xx \mathbf{x} 线性表示。

由(1), (2) 得，等式成立 ⇔x⇔x\Leftrightarrow \mathbf{x} 与 yy \mathbf{y} 线性相关。

距离

定义

∀x,y∈Rn,|x−y|=⟨x−y,x−y⟩−−−−−−−−−−−√∀x,y∈Rn,|x−y|=⟨x−y,x−y⟩\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb R^n, |\mathbf{x} - \mathbf{y}| = \sqrt { \langle \mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{x} - \mathbf{y} \rangle }
||x||=⟨x,x⟩−−−−−√||x||=⟨x,x⟩||\mathbf{x} || = \sqrt { \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle }

性质

∀x,y,z∈Rn,∀x,y,z∈Rn,\forall \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb R^n,
1. 正定性 |x−y|≥0,|x−y|=0⇔x=y|x−y|≥0,|x−y|=0⇔x=y|\mathbf{x} - \mathbf{y}| \ge 0, |\mathbf{x} - \mathbf{y}| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{y}
2. 对称性 |x−y|=|y−x||x−y|=|y−x||\mathbf{x} - \mathbf{y}| = |\mathbf{y} - \mathbf{x}|
3. 三角不等式 |x−z|≤|x−y|+|y−z||x−z|≤|x−y|+|y−z||\mathbf{x} - \mathbf{z}| \le |\mathbf{x} - \mathbf{y}| + |\mathbf{y} - \mathbf{z}|

三角不等式

∀x,y,z∈Rn,|x−z|≤|x−y|+|y−z|∀x,y,z∈Rn,|x−z|≤|x−y|+|y−z|\forall \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb R^n, |\mathbf{x} - \mathbf{z}| \le |\mathbf{x} - \mathbf{y}| + |\mathbf{y} - \mathbf{z}|

证明：

令 a=x−y,b=y−z,a=x−y,b=y−z,\mathbf{a} = \mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{b} = \mathbf{y} - \mathbf{z}, 则不等式
⇔|a+b|≤||a||+|b||⇔|a+b|≤||a||+|b||\Leftrightarrow |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \le ||\mathbf{a}|| + |\mathbf{b}||
⇔⟨a+b,a+b⟩−−−−−−−−−−−√≤⟨a,a⟩−−−−−√+⟨b,b⟩−−−−−√⇔⟨a+b,a+b⟩≤⟨a,a⟩+⟨b,b⟩\Leftrightarrow \sqrt { \langle \mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{a} + \mathbf{b} \rangle } \le \sqrt { \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle } + \sqrt { \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle }
⟨a,a⟩+2⟨a,b⟩+⟨b,b⟩≤⟨a,a⟩+2⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√+⟨b,b⟩⟨a,a⟩+2⟨a,b⟩+⟨b,b⟩≤⟨a,a⟩+2⟨a,a⟩⟨b,b⟩+⟨b,b⟩\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle + 2 \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle + \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle \le \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle + 2 \sqrt { \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle } + \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle
⇔⟨a,b⟩≤⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√⇔⟨a,b⟩≤⟨a,a⟩⟨b,b⟩\Leftrightarrow \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \le \sqrt { \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle }
等号成立 ⇔x−y⇔x−y \Leftrightarrow \mathbf{x} - \mathbf{y} 与 y−zy−z\mathbf{y} - \mathbf{z} 线性相关

推论

推论一

∀x,y,z∈Rn,||x−z|−|y−z||≤|x−y|∀x,y,z∈Rn,||x−z|−|y−z||≤|x−y|\forall \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb R^n, \left | \left |\mathbf{x} - \mathbf{z} \right | - \left |\mathbf{y} - \mathbf{z} \right | \right | \le \left |\mathbf{x} - \mathbf{y} \right |

证明：

−|x−y|≤|x−z|−|y−z|≤|x−y|−|x−y|≤|x−z|−|y−z|≤|x−y|- \left |\mathbf{x} - \mathbf{y} \right | \le \left |\mathbf{x} - \mathbf{z} \right | - \left |\mathbf{y} - \mathbf{z} \right | \le \left |\mathbf{x} - \mathbf{y} \right |

推论二

∀x,y,z∈R,∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2|∀x,y,z∈R,|x12+x22−y12+y22|≤(x1−y1)2+(x2−y2)2≤|x1−y1|+|x2−y2|\forall x, y, z \in \mathbb R, \left | \sqrt {x_1^2 + x_2^2} - \sqrt {y_1^2 + y_2^2} \right | \le \sqrt { {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2} \le \left |x_1 - y_1 \right | + \left |x_2 - y_2 \right |

证明：

令 x=(x1x2),y=(y1y2),z=(00),x=(x1x2),y=(y1y2),z=(00), \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \mathbf{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, 则 x−y=(x1−y1x2−y2),x−y=(x1−y1x2−y2),\mathbf{x} - \mathbf{y} = \begin{pmatrix} x_1 - y_1 \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix},
由推论1可得 ∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√|x12+x22−y12+y22|≤(x1−y1)2+(x2−y2)2\left | \sqrt {x_1^2 + x_2^2} - \sqrt {y_1^2 + y_2^2} \right | \le \sqrt { {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2}
令 x=(0x2−y2),y=(−(x1−y1)x2−y2),z=(−(x1−y1)0),x=(0x2−y2),y=(−(x1−y1)x2−y2),z=(−(x1−y1)0), \mathbf{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} -(x_1 - y_1) \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix}, \mathbf{z} = \begin{pmatrix} -(x_1 - y_1) \\ 0 \end{pmatrix}, 则 x−y=(x1−y10),y−z=(0x2−y2),x−z=(x1−y1x2−y2),x−y=(x1−y10),y−z=(0x2−y2),x−z=(x1−y1x2−y2),\mathbf{x} - \mathbf{y} = \begin{pmatrix} x_1 - y_1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{y} - \mathbf{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix}, \mathbf{x} - \mathbf{z} = \begin{pmatrix} x_1 - y_1 \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix},
由三角不等式可得：(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2|(x1−y1)2+(x2−y2)2≤|x1−y1|+|x2−y2|\sqrt { {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2} \le \left |x_1 - y_1 \right | + \left |x_2 - y_2 \right |

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