bzoj4570: [Scoi2016]妖怪【凸包+对勾函数最小值】

Description

邱老师是妖怪爱好者，他有n只妖怪，每只妖怪有攻击力atk和防御力dnf两种属性。邱老师立志成为妖怪大师，于
是他从真新镇出发，踏上未知的旅途，见识不同的风景。环境对妖怪的战斗力有很大影响，在某种环境中，妖怪可
以降低自己k×a点攻击力，提升k×b点防御力或者，提升自己k×a点攻击力，降低k×b点防御力，a，b属于正实数
，k为任意实数，但是atk和dnf必须始终非负。妖怪在环境(a,b)中的战斗力为妖怪在该种环境中能达到的最大攻击
力和最大防御力之和。strength(a,b)=max(atk(a,b))+max(dnf(a,b))环境由a，b两个参数定义，a，b的含义见前
文描述。比如当前环境a=3，b=2，那么攻击力为6，防御力为2的妖怪，能达到的最大攻击力为9，最大防御力为6。
所以该妖怪在a=3，b=2的环境下战斗力为15。因此，在不同的环境，战斗力最强的妖怪可能发生变化。作为一名优
秀的妖怪训练师，邱老师想发掘每一只妖怪的最大潜力，他想知道在最为不利的情况下，他的n只妖怪能够达到的
最强战斗力值，即存在一组正实数(a,b)使得n只妖怪在该环境下最强战斗力最低。

Input

第一行一个n，表示有n只妖怪。接下来n行，每行两个整数atk和dnf，表示妖怪的攻击力和防御力。
1≤n≤10^6, 0＜atk,dnf≤10^8

Output

输出在最不利情况下最强妖怪的战斗力值，保留4位小数。

Sample Input

1 1

1 2

2 2

Sample Output

8.0000

解题思路：

不难推出一个妖怪在环境 (a,b) ( a , b ) (a,b)下的最强战力为 atk+dnf+dnf∗k+atk/k,k=a/b a t k + d n f + d n f ∗ k + a t k / k , k = a / b atk+dnf+dnf*k+atk/k,k=a/b。
比较容易想到二分答案加上解一元二次方程判是否有解的方法，但是会TLE。
不妨把一个妖怪看作平面上的点 (x,y) ( x , y ) (x,y)，那么在点 (x,y) ( x , y ) (x,y)处的斜率为 k(k<0) k ( k < 0 ) k(k的直线得到的答案为横纵截距之和，即 x+y−x∗k−y/k x + y − x ∗ k − y / k x+y-x*k-y/k
这样可以很好的契合原式，再根据对勾函数性质，如果单独使点 (x,y) ( x , y ) (x,y)最小，得到的答案为 x+y+2∗sqrt(xy) x + y + 2 ∗ s q r t ( x y ) x+y+2*sqrt(xy)
考虑求出这n个点的凸包，那么最大的答案永远在凸包上，而且每个点作为最大值都有一个斜率k的取值范围，所以我们只需求出每个点在这个区间内的最小值即可。
如果单独使点i最小的同时，也使得点i是所有点的最大值，即斜率 −sqrt(y/x) − s q r t ( y / x ) -sqrt(y/x)的直线可以与点i相切时，则用 −sqrt(y/x) − s q r t ( y / x ) -sqrt(y/x)更新答案，否则，用这个点所连的两边的斜率计算的较小值更新答案。
所以这道题还是比较有思维难度的。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{int i=0,f=1;char c;for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());if(c=='-')f=-1,c=getchar();for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';return i*f;
}const int N=1000005;
const double INF=1e20;
struct point
{double x,y;point(){}point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){};inline friend point operator - (const point &a,const point &b){return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}inline friend double operator * (const point &a,const point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}inline friend bool operator < (const point &a,const point &b){return a.x==b.x?a.y>b.y:a.x<b.x;}inline friend double slope(const point &a,const point &b){return a.x==b.x?-INF:(b.y-a.y)/(b.x-a.x);}
}p[N];
int n;double calc(double x,double y,double k)
{if(!k||k==INF||k==-INF)return INF;return x+y-x*k-y/k;
}void solve()
{sort(p+1,p+n+1);int id=1;for(int i=2;i<=n;i++)if(p[i].y>p[id].y)id=i;for(int i=id;i<=n;i++)p[i-id+1]=p[i];n=n-id+1;int top=1;for(int i=2;i<=n;i++){while(top>1&&(p[i]-p[top-1])*(p[top]-p[top-1])<=0)top--;p[++top]=p[i];}n=top;double ans=INF;for(int i=1;i<=n;i++){double k=-sqrt(p[i].y/p[i].x);double kl=i==1?INF:slope(p[i-1],p[i]);double kr=i==n?-INF:slope(p[i],p[i+1]);if(kl>=k&&k>=kr)ans=min(ans,calc(p[i].x,p[i].y,k));else ans=min(ans,min(calc(p[i].x,p[i].y,kl),calc(p[i].x,p[i].y,kr)));}printf("%0.4lf\n",ans);
}int main()
{//freopen("lx.in","r",stdin);n=getint();for(int i=1;i<=n;i++)p[i].x=getint(),p[i].y=getint();solve();}