对勾函数的性质及其应用

对勾函数虽然简单，但是由于其和二次函数，基本不等式之间的天然联系，使得其成为高中阶段一个经常考察，也经常使用的函数。

1 定义

对勾函数：对勾函数是形如f(x)=ax+bxf(x)=ax+\frac bxf(x)=ax+xb的函数，其中a,b>0a,b>0a,b>0。

2 性质

定义域：(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性：对勾函数是奇函数。
单调区间：(−∞,−ba],[ba,+∞)(-\infty,-\sqrt\frac ba],\space\space[\sqrt\frac ba,+\infty)(−∞,−ab], [ab,+∞)为单增区间；[−ba,0),(0,ba)[-\sqrt\frac ba , 0),\space\space(0,\sqrt\frac ba)[−ab,0), (0,ab)为单减区间。

只利用单调区间的定义，就可以证明。

最值性质：由于是奇函数，所以只需研究x>0x>0x>0的部分，在这部分上，在x=bax=\sqrt\frac bax=ab取得最小值2ab2\sqrt{ab}2ab。同理x<0x<0x<0的部分，在x=−bax=-\sqrt\frac bax=−ab取得最大值−2ab-2\sqrt{ab}−2ab

最值性质可以，根据基本不等式得到，也可以根据单调性得到。比如当x>0x>0x>0时候，ax+bx≥2abax+\frac bx\ge2\sqrt{ab}ax+xb≥2ab等号成立，当且仅当ax=b/xax=b/xax=b/x，解得x=bax=\sqrt \frac bax=ab

值域：(−∞,−2ab]∪[2ab,+∞)(-\infty,-2\sqrt{ab}]\cup[2\sqrt{ab},+\infty)(−∞,−2ab]∪[2ab,+∞)

根据最值性质，不难得出。

3 图像

根据对勾函数的定义，可以知道，当∣x∣|x|∣x∣趋于无穷时，对勾函数的图像接近正比例函数y=axy=axy=ax；当∣x∣|x|∣x∣趋于零时，对勾函数的图像接近反比例函数y=b/xy=b/xy=b/x。
下面以y=x+1xy=x+\frac 1xy=x+x1为例子，做出图像

可以在图中直观的反映出对勾函数的各种性质。

4 应用

对勾函数的应用有很多，下面通过两个例子，来感受一下。
应用一 分离变量求参数值：

例：关于xxx的不等式−x2+ax>x+2-x^2+ax>x+2−x2+ax>x+2，在x∈[2,4]x\in[2,4]x∈[2,4]上恒成立，求实数aaa的取值范围。

根据x∈[2,4]x\in[2,4]x∈[2,4]，将不等式变形得到(a−1)x>x2+2(a-1)x>x^2+2(a−1)x>x2+2，即a−1>x+2xa-1>x+\frac 2xa−1>x+x2
令f(x)=x+2xf(x)=x+\frac 2xf(x)=x+x2，这是一个对勾函数。其在[2,+∞)[\sqrt 2,+\infty)[2,+∞)上单调递增。
所以maxx∈[2,4]{f(x)}=f(4)max_{x\in[2,4]}\{f(x)\}=f(4)maxx∈[2,4]{f(x)}=f(4)，f(x)f(x)f(x)在[2,4][2,4][2,4]上的最大值为f(4)=4+1/2=9/2f(4)=4+1/2=9/2f(4)=4+1/2=9/2
因此aaa的取值范围为[92,+∞)[\frac92,+\infty)[29,+∞)

应用二 综合应用

例：函数f(x)=x+1xf(x)=x+\frac 1xf(x)=x+x1，已知aaa为正实数。设x1,x2x_1,x_2x1,x2(其中x1<x2x_1<x_2x1<x2)为f(x)=af(x)=af(x)=a的两个实数根，为使得这两实数根满足2x1<x2<3x12x_1<x_2<3x_12x1<x2<3x1，求aaa的取值范围。

为使得f(x)=af(x)=af(x)=a有两不同的实数根，根据对勾函数函数的性质，可知a>2a>2a>2
2x1<x2<3x12x_1<x_2<3x_12x1<x2<3x1等价于f(2x1)<f(x2)<f(3x1)f(2x_1)<f(x_2)<f(3x_1)f(2x1)<f(x2)<f(3x1)
注意到f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)f(x1)=f(x2)，即需要满足f(2x1)<f(x1)<f(3x1)f(2x_1)<f(x_1)<f(3x_1)f(2x1)<f(x1)<f(3x1)
即x1x_1x1要满足如下不等式
{0<x1<12x1+12x1<x1+1x1x1+1x1<3x1+13x1\Large\left\{\begin{matrix} 0<x_1<1 \\2x_1+\frac{1}{2x_1}<x_1+\frac{1}{x_1} \\x_1+\frac{1}{x_1}<3x_1+\frac{1}{3x_1} \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧0<x1<12x1+2x11<x1+x11x1+x11<3x1+3x11
可以解得：3/3<x1<2/2\sqrt{3}/3<x_1<\sqrt{2}/23/3<x1<2/2
根据f(x)f(x)f(x)在(0,1)(0,1)(0,1)上单调递减，可以得322<f(x1)<433\frac 32\sqrt{2}<f(x_1 )<\frac 43\sqrt{3}232<f(x1)<343
注意到a=f(x1)a=f(x_1)a=f(x1)
即aaa的取值范围为(322,433)(\frac 32\sqrt{2},\frac 43\sqrt{3})(232,343)