朴素容斥原理[ZJOI2016][bzoj4455]小星星

前言

我容斥方面很菜啊，总是一头雾水，于是决心好好学容斥（从水题刷起）

题意简介

题面链接

题目大意

给出一个nnn个点，mmm条边的无向无重边、无自环的图，再给出一棵nnn个点的树
定义一种对应为：让每个树中的点uuu都对应一个图中的点u′u'u′（图中所有点都要被对应，也即对应的点必须不同）
问有多少对应方式使得对于树中每一组有边相连的点对u,vu,vu,v，图中的对应点u′,v′u',v'u′,v′之间也有边相连

数据范围

n≤17,m≤n∗(n−1)/2n\le17,m\le n*(n-1)/2n≤17,m≤n∗(n−1)/2

题解

部分分

直接dp
f[i][j][S]f[i][j][S]f[i][j][S]
表示iii节点及其子树都已经做完，iii对应的图中节点是jjj，iii节点及其子树中的点对应图中的节点集合是SSS，此时的方案数
具体流程就是枚举每个状态
转移的时候是枚举子节点以及子节点对应的点，然后还要枚举子集（Θ(3n)\Theta(3^n)Θ(3n)）
总复杂度是Θ(3nn2)\Theta(3^nn^2)Θ(3nn2)

正解

考虑部分分的复杂度瓶颈在于枚举子集，考虑容斥优化
我们发现，由于有个限制“对应的点必须不同”，所以并不好做
考虑我们现放宽条件，求出能任意对应的时候的答案，再把哪些对应的点有相同的方案删去
打出容斥的式子：
∣A1∪A2∪...∪An∣=∑i=1n(−1)i−1∑∣T∣=i,T={x1...xi}∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣|{A_1}\cup{A_2}\cup...\cup{A_n}|=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\sum_{|T|=i,T=\{x_1...x_i\}}|{A_{x_1}}\cap{A_{x_2}}\cap...\cap{A_{x_i}}|∣A1∪A2∪...∪An∣=i=1∑n(−1)i−1∣T∣=i,T={x1...xi}∑∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣
非常经典
设AiA_iAi表示未匹配iii的方案，设UUU为所有的方案
那么相当于我们要求的就是∣U∣−∣A1∪A2∪...∪An∣|U|-|{A_1}\cup{A_2}\cup...\cup{A_n}|∣U∣−∣A1∪A2∪...∪An∣
代入一下就是Ans=∣U∣−∑i=1n(−1)i−1∑∣T∣=i,T={x1...xi}∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣=∣U∣+∑i=1n(−1)i∑∣T∣=i,T={x1...xi}∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣\begin{aligned} Ans&=|U|-\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\sum_{|T|=i,T=\{x_1...x_i\}}|{A_{x_1}}\cap{A_{x_2}}\cap...\cap{A_{x_i}}|\\ &=|U|+\sum_{i=1}^n(-1)^i\sum_{|T|=i,T=\{x_1...x_i\}}|{A_{x_1}}\cap{A_{x_2}}\cap...\cap{A_{x_i}}| \end{aligned}Ans=∣U∣−i=1∑n(−1)i−1∣T∣=i,T={x1...xi}∑∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣=∣U∣+i=1∑n(−1)i∣T∣=i,T={x1...xi}∑∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣
∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣|{A_{x_1}}\cap{A_{x_2}}\cap...\cap{A_{x_i}}|∣Ax1∩Ax2∩...∩Axi∣的意义是匹配的点不包含x1⋅⋅⋅xix_1···x_ix1⋅⋅⋅xi，做的时候可以枚举TTT的补集。∣U∣|U|∣U∣的答案是空集补集的贡献。全集补集为空集、贡献为000，所以不用枚举
做的时候枚举所有的点对应的点的集合SSS，代表对应的点不能在SSS之外，然后就Θ(n3)\Theta(n^3)Θ(n3)的树形dp即可，总复杂度Θ(2n∗n3)\Theta(2^n*n^3)Θ(2n∗n3)
复杂度分析数值比较大，但是容易发现后面的Θ(n3)\Theta(n^3)Θ(n3)是不满的，复杂度分析在1e81e81e8多一点，几乎不用卡常即可过

代码

贴上ac代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<vector>
namespace fast_IO
{const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}
}
using namespace fast_IO;
#define getchar() getchar_()
#define putchar(x) putchar_((x))
#define rg register
typedef long long LL;
template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;}
template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;}
template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;}
template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;}
template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;}
template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}
template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;};
template <typename T> inline void read(T&x)
{char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x;
}
template <typename T> inline void printe(const T x)
{if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0');
}
template <typename T> inline void print(const T x)
{if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x);
}
const int maxn=19;
int n,m,bit[maxn];
bool edge[maxn][maxn];
std::vector<int>E[maxn];
int stack[maxn],top;
inline void get(int x)
{top=0;for(rg int i=1;x;i++,x>>=1)if(x&1)stack[++top]=i;
}
LL f[maxn][maxn],ans;
void dfs(const int u,const int fa)
{for(rg int t=1;t<=top;t++)f[u][t]=1;for(std::vector<int>::iterator Pos=E[u].begin();Pos!=E[u].end();Pos++){const int v=*Pos;if(v==fa)continue;dfs(v,u);for(rg int t=1;t<=top;t++){LL val=0;for(rg int l=1;l<=top;l++)if(edge[stack[t]][stack[l]])val+=f[v][l];f[u][t]*=val;}}
}
int main()
{bit[1]=1;for(rg int i=2;i<=18;i++)bit[i]=bit[i-1]<<1; read(n),read(m);for(rg int i=1;i<=m;i++){int u,v;read(u),read(v);edge[u][v]=edge[v][u]=1;}for(rg int i=1;i<n;i++){int u,v;read(u),read(v);E[u].push_back(v),E[v].push_back(u);}for(rg int i=1;i<bit[n+1];i++){get(i);dfs(1,0);LL val=0;for(rg int j=1;j<=top;j++)val+=f[1][j];if((top&1)==(n&1))ans+=val;else ans-=val;}print(ans);return flush(),0;
}

总结

这是容斥的经典模式，写篇博客来记录&纪念一下