关于逆元（费马小定理，exgcd）

1.逆元是个什么东西
首先这里有个式子: ((( ab\frac{a}{b}ba ))) modmodmod ppp,这个式子的答案怎么求呢？？
A 直接求不行吗？
Q别想了不能。我们发现一个分数 mod 一个整数时是不能直接模运算的，但是可以进行乘法运算，我们就要用到逆元（大概可以看做一个数%p意义下的倒数吧）
除以一个数模ppp，就等于乘以一个数在mod p意义下的逆元
也就是说，它的定义可以表示为ax≡1ax≡1ax≡1 (mod(mod(mod n)n)n)
2. 求逆元的方法之——费马小定理

费马小定理：对于整数 a 与质数 p ，若 a 与 p 互质，则有： ap−1≡1a^{p−1}≡1ap−1≡1 modmodmod ppp
求逆元：ap−1≡1a^{p−1}≡1ap−1≡1 modmodmod ppp故ap−2∗p≡1a^{p−2}*p≡1ap−2∗p≡1 modmodmod ppp，所以ap−2a^{p−2}ap−2为aaa modmodmod ppp意义下的逆元
代码（就是个快速幂）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p,r;
ll n;
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{ll r=1;while(b){if(b&1)r=r*a%p;b>>=1;a=a*a%p;    }return r;
}
int main()
{cin>>n>>p;for(int i=1;i<=n;i++)
{ll hh=ksm(i,p-2,p);cout<<hh<<endl;}
}

3.方法二——扩展欧几里得

exgcd可以用来判断并求解形如ax+by=cax+by=cax+by=c 的方程，当且仅当gcd(a,b)∣cgcd(a,b)∣cgcd(a,b)∣c，存在整数解x,yx,yx,y
证明：扩欧证明
求逆元：
设mmm为aaa的逆元，那么有am≡1(am≡1(am≡1( modmodmod p)p)p)
那么显而易见地我们可以写成am−pn=1am-pn=1am−pn=1
然后就可以exgcd解啦
代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &x)
{int f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while(s<='9'&&s>='0'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}x=f*x;
}
int n,p;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{int t;if(b==0){x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
}
int main()
{read(n);read(p);register int x,y;for(int i=1;i<=n;i++){exgcd(i,p,x,y);cout<<(x+p)%p;putchar('\n');}
}

4.线性求逆元
虽然已经有2种方法，但是对于这样的题模板还是会TTT
于是我们不得不学习线性逆元
就可以使用递推法。

iii 模 ppp 意义下的逆元 inv(i)inv(i)inv(i)可表示为 :

inv(i)=−⌊pi⌋×inv(p%i)%p\large inv(i) = -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times inv(p\% i)\% pinv(i)=−⌊ip⌋×inv(p%i)%p

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &x)
{int f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while(s<='9'&&s>='0'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}x=f*x;
}
int n,p;
ll a[5000005];
int main()
{read(n);read(p);a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){a[i]=(ll)p-(p/i)*a[p%i]%p;}for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",a[i]);
}

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