【运筹学】对偶理论 : 最优性定理、强对偶性
文章目录
- 一、最优性定理
- 二、强对偶性
一、最优性定理
最优性定理 :
如果 X0\rm X^0X0 是 原问题的可行解 , Y0\rm Y^0Y0 是 对偶问题的可行解 ,
并且 两个可行解对应的目标函数值相等 , 即 CX0=BY0\rm CX^0 = BY^0CX0=BY0 , 即 z=w\rm z = wz=w ,
则 X0\rm X^0X0 是原问题的最优解 , Y0\rm Y^0Y0 是对偶问题的最优解 ;
两个互为对偶的线性规划问题 , 只要有一个有最优解 , 另一个也有最优解 ;
最优解 首先是可行解 , 其次该可行解使目标函数达到最优 ( 最小值 / 最大值 ) ;
互为对偶的两个问题 :
原问题的目标函数求最大值 , 该值不断增大 , 处于一个界限值下方 ; 其最大值就是界限值 ;
对偶问题的目标函数求最小值 , 该值不断减小 , 处于一个界限值上方 ; 其最小值就是界限值 ;
当上述 X0\rm X^0X0 是 原问题的可行解 , Y0\rm Y^0Y0 是 对偶问题的可行解 ,
如果 CX0=BY0\rm CX^0 = BY^0CX0=BY0 , 则说明 CX0=BY0=界限值\rm CX^0 = BY^0 = 界限值CX0=BY0=界限值 , 当前的目标函数值就是界限值 ;
该界限值就是 原问题 目标函数的最大值 , 同时也是 对偶问题目标函数的最小值 ;
二、强对偶性
强对偶性 : 如果 原问题 与 对偶问题 都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则 两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ;
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