一、原问题与对偶问题标准形式

原问题 P\rm PP : maxZ=CXs.t{AX≤bX≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0 ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, 对偶问题 D\rm DD : minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0

等价方法 :

生产 : 目标函数追求利润最大化 , 约束方程设备的使用时长受约束 , 小于等于某个时间值 ;
出租设备 : 目标函数追求租金最小化 , 约束方程设备产生的利润要大于等于生产的利润 , 不能亏钱 ;

二、互补松弛定理

X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是原问题 P\rm PP 问题和对偶问题 D\rm DD 的可行解 ,

这两个解各自都是对应线性规划问题的最优解

的充要条件是 : {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0

其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是松弛变量或剩余变量 ;

三、已知原问题最优解求对偶问题最优解

已知线性规划 :

minW=2x1−x2+2x3{−x1+x2+x3=4−x1+x2−x3≤6x1≤0,x2≥0,x3无约束\begin{array}{lcl} \rm minW= 2x_1 - x_2 + 2x_3 \\\\ \rm \begin{cases} \rm -x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\\\ \rm -x_1 + x_2 - x_3 \leq 6 \\\\ \rm x_1 \leq 0 ,x_2 \geq 0 , x_3 无约束 \end{cases}\end{array}minW=2x1−x2+2x3⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−x1+x2+x3=4−x1+x2−x3≤6x1≤0,x2≥0,x3无约束

上述线性规划的对偶问题的最优解是 Y0=(0−2)\rm Y^0 = \begin{pmatrix} \quad \rm 0 \quad \rm -2 \quad \end{pmatrix}Y0=(0−2) , 求其原问题最优解 ;

互补松弛定理 :

" X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是原问题 P\rm PP 问题和对偶问题 D\rm DD 的最优解 " ⇔\Leftrightarrow⇔ {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0

其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是松弛变量或剩余变量 ;

分析 :

给出了对偶问题最优解 Y0=(0−2)\rm Y^0 = \begin{pmatrix} \quad \rm 0 \quad \rm -2 \quad \end{pmatrix}Y0=(0−2) , 其互补松弛定理中对应原问题的松弛变量 Xs=(x4x5)\rm X_s =\begin{pmatrix} \quad \rm x_4 \quad \\\\ \quad \rm x_5 \quad \end{pmatrix}Xs=⎝⎛x4x5⎠⎞ ;

根据公式有 (0−2)×(x4x5)=0\rm \begin{pmatrix} \quad \rm 0 \quad \rm -2 \quad \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad \rm x_4 \quad \\\\ \quad \rm x_5 \quad \end{pmatrix} = 0(0−2)×⎝⎛x4x5⎠⎞=0
0x4−2x5=0\rm 0 x_4 - 2x_5= 00x4−2x5=0

−2x5=0\rm - 2x_5= 0−2x5=0

原问题添加松弛变量 ,

−x1+x2+x3=4\rm -x_1 + x_2 + x_3 = 4−x1+x2+x3=4 已经是等式了 , 添加一个 x4\rm x_4x4 松弛变量 , x4=0\rm x_4 = 0x4=0 ,

−x1+x2−x3≤6\rm -x_1 + x_2 - x_3 \leq 6−x1+x2−x3≤6 添加松弛变量 x5\rm x_5x5 , 由于对应的最优解不为 000 , 是 −2-2−2 , 其对应的松弛变量还是 000 , 即 x5=0x_5 = 0x5=0 ;

原问题的最优解满足 {−x1+x2+x3=4−x1+x2−x3=6\begin{cases} \rm -x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\\\ \rm -x_1 + x_2 - x_3 = 6 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧−x1+x2+x3=4−x1+x2−x3=6 方程 , 该方程组 222 个等式 , 333 个变量 , 如果再得到一个方程 , 就可以得到三个方程 ;

根据对偶理论中的 强对偶性 , 如果原问题与对偶问题都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ;

这里求一下对偶问题的目标函数值 , 对偶问题的目标函数与原问题的目标函数值相等 ;

对偶问题的目标函数是 maxZ=4y1+6y2=4×0−2×6=−12\rm max Z = 4y_1 + 6y_2 = 4 \times 0 - 2 \times 6 = -12maxZ=4y1+6y2=4×0−2×6=−12 ;

因此原问题的目标函数值也是 121212 , 得到式子 minW=2x1−x2+2x3=−12\rm minW= 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -12minW=2x1−x2+2x3=−12 ;

这里就得到了 333 个方程组 , 333 个变量 , 求解下面的方程组 , 最终结果就是最优解 ;

{−x1+x2+x3=4①−x1+x2−x3=6②2x1−x2+2x3=−12③\begin{cases} \rm -x_1 + x_2 + x_3 = 4 \ \ ① \\\\ \rm -x_1 + x_2 - x_3 = 6 \ \ ② \\\\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -12 \ \ ③ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−x1+x2+x3=4 ①−x1+x2−x3=6 ②2x1−x2+2x3=−12 ③

最终方程组的解是 :

{x1=−5x2=0x3=−1\begin{cases} \rm x_1 = -5 \\\\ \rm x_2 = 0 \\\\ x_3 = -1 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1=−5x2=0x3=−1

最终的原方程的最优解是 (−50−1)\begin{pmatrix} \quad \rm -5 \quad 0 \quad \rm -1 \quad \end{pmatrix}(−50−1)

目标函数值是 −12-12−12

四、互补松弛定理求最优解思路

给定线性规划 , 给定一个问题的最优解 , 求另一个问题的最优解 ;

互补松弛定理 :

其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是松弛变量或剩余变量 ;

使用上述互补松弛定理 , 求出给定的最优解对应的对偶问题线性规划松弛变量的值 ;

将松弛变量代入到约束方程等式中 , 求解出的值就是线性规划问题的最优解 ;

还有一种方式 , 就是根据给定的最优解 , 求出本问题线性规划的松弛变量值 ,

根据本问题的松弛变量值求对应对偶问题的最优解 ;

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【运筹学】对偶理论 : 互补松弛定理应用 2 ( 互补松弛定理求最优解思路 ) ★★

文章目录

一、原问题与对偶问题标准形式

二、互补松弛定理

三、已知原问题最优解求对偶问题最优解

四、互补松弛定理求最优解思路

【运筹学】对偶理论 : 互补松弛定理应用 2 ( 互补松弛定理求最优解思路 ) ★★相关推荐

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