【运筹学】对偶理论 : 总结 ( 对偶理论 | 原问题与对偶问题对应关系 | 对偶理论的相关结论 ) ★★★
文章目录
- 一、对偶理论
- 1、对称性定理
- 2、弱对偶定理
- 3、最优性定理
- 4、强对偶性
- 5、互补松弛定理
- 二、原问题与对偶问题对应关系
- 二、对偶理论的相关结论
- 1、对偶问题存在
- 2、对偶问题转化
- 3、对偶问题的解
- 4、互补松弛定理
一、对偶理论
1、对称性定理
对称性定理 :
- 原问题 ( LPLPLP ) 的 对偶 是 对偶问题 ( DPDPDP )
- 对偶问题 ( DPDPDP ) 的 对偶 是 原问题 ( LPLPLP )
原问题 和 对偶问题 互为对偶 ;
对偶问题是对称的
原问题 LPLPLP :
maxZ=CXs.t{AX≤bX≥0\begin{array}{lcl} maxZ = C X \\\\ s.t\begin{cases} AX \leq b \\\\ X \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0
对偶问题 DPDPDP :
minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0
2、弱对偶定理
弱对偶定理 :
假设 X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 问题 (P)\rm (P)(P) ( 目标函数求最大值 ) 和 问题 (D)\rm (D)(D) ( 目标函数求最小值 ) 的 可行解 , 则必有 CX0≤Y0b\rm CX^0 \leq Y^0 bCX0≤Y0b ,
展开后为 ∑j=1ncjxj≤∑i=1myibi\rm \sum_{j = 1}^n c_j x_j \leq \sum_{i = 1}^{m} y_i b_i∑j=1ncjxj≤∑i=1myibi
弱对偶定理推论 1 :
原问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其对偶问题 目标函数值的下界 ;
反之 ,
对偶问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其原问题 目标函数的上界 ;
弱对偶定理推论 2 : ( 对偶问题的无界性 )
在一对 对偶问题 (P)\rm (P)(P) 和 (D)\rm (D)(D) 中 ,
如果其中 一个线性规划问题可行 , 但是 目标函数无界 , 则 另外一个问题没有可行解 ;
如果其中 一个线性规划问题不可行 , 其 对偶问题不一定不可行 ;
弱对偶定理推论 3 :
在一对 对偶问题 (P)\rm (P)(P) 和 (D)\rm (D)(D) 中 ,
如果其中 一个线性规划问题可行 , 而 另一个线性规划问题不可行 , 则 该可行问题的目标函数是无界的;
3、最优性定理
最优性定理 :
如果 X0\rm X^0X0 是 原问题的可行解 , Y0\rm Y^0Y0 是 对偶问题的可行解 ,
并且 两个可行解对应的目标函数值相等 , 即 CX0=BY0\rm CX^0 = BY^0CX0=BY0 , 即 z=w\rm z = wz=w ,
则 X0\rm X^0X0 是原问题的最优解 , Y0\rm Y^0Y0 是对偶问题的最优解 ;
4、强对偶性
强对偶性 : 如果 原问题 与 对偶问题 都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则 两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ;
5、互补松弛定理
X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 原问题 P\rm PP 问题 和 对偶问题 D\rm DD 的 可行解 ,
这两个解各自都是对应 线性规划问题 的 最优解
的 充要条件是 : {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0
其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是 松弛变量 或 剩余变量 ;
互补松弛定理简写 :
" X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 原问题 P\rm PP 问题 和 对偶问题 D\rm DD 的 最优解 " ⇔\Leftrightarrow⇔ {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0
其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是 松弛变量 或 剩余变量 ;
二、原问题与对偶问题对应关系
原问题与对偶问题对应关系 :
如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;
如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;
如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;
上述是根据弱对偶定理总结的 ;
二、对偶理论的相关结论
1、对偶问题存在
任何 线性规划问题 , 都有一个对应的 对偶线性规划问题 ;
2、对偶问题转化
原问题 P\rm PP : maxZ=CXs.t{AX≤bX≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0 ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, 对偶问题 D\rm DD : minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0
原问题与对偶问题对应关系 :
原问题第 iii 个约束条件是 ≤\leq≤ 约束 , 其对偶问题的第 iii 个变量的符号不确定 , 可能大于等于 000 , 也可能小于等于 000 ;
查看 约束变量的符号 与 其另外一个对偶问题的 约束方程的符号 一致性 , 来确定对偶问题的约束方程符号 ;
约束方程符号 :
如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥\geq≥ , 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号一致 ;
如果当前线性规划问题 目标函数是求最小值 , 原问题就是下面的问题 , 其对偶问题 ( 上面的 ) 的约束方程符号是 ≤\leq≤ , 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号相反 ;
变量符号 :
如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥\geq≥ , 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号相反 ;
如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥\geq≥ , 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号一致 ;
3、对偶问题的解
① 互为对偶的两个问题 , 或者同时都有最优解 , 或者同时都没有最优解 ;
② 对偶问题 有可行解 , 原问题 不一定有可行解 , 因为对偶问题的可行解可能是 无界解 , 原问题可能 无可行解 ;
③ 原问题有 多重解 , 对偶问题 可能有多重解 , 也 可能有唯一解 ; 多重解是 有无穷多最优解 ;
④ 对偶问题 有可行解 , 原问题 无可行解 , 则对偶问题 有无界解 ; 一对问题中 , 一个有可行解 , 一个无可行解 , 则有可行解的是无界解 ;
⑤ 原问题 没有最优解 , 对偶问题无法判断 ; 没有最优解有两种情况 , 一种是 无界解 , 一种是 无可行解 ; 如果原问题有无界解 , 则对偶问题无可行解 ; 如果原问题无可行解 , 则对偶问题无可行解 ;
⑥ 如果对偶问题没有可行解 , 对偶问题无法判断 , 无界解 或 无可行解 两种情况都有可能 ;
⑦ 如果原问题与对偶问题 都有可行解 , 则 都有最优解 ;
如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;
如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;
如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;
4、互补松弛定理
如果 X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是原问题与对偶问题的最优解 , 则 Y0Xs=YsX0=0\rm Y^0 X_s = Y_sX^0 = 0Y0Xs=YsX0=0 ;
" X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 原问题 P\rm PP 问题 和 对偶问题 D\rm DD 的 最优解 " ⇔\Leftrightarrow⇔ {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0
其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是 松弛变量 或 剩余变量 ;
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