2417. Loan Repayment

题目描述

Farmer John 欠了 Bessie N 加仑牛奶（1≤N≤10^12）。他必须在 K 天内将牛奶给 Bessie。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 Bessie 至少 M 加仑牛奶（1≤M≤10^12）。
以下是 Farmer John 决定偿还 Bessie 的方式。首先他选择一个正整数 X。然后他每天都重复以下过程：
（1）假设 Farmer John 已经给了 Bessie G 加仑，计算 (N−G）/X 向下取整。令这个数为 Y。
（2）如果 Y 小于 M，令 Y 等于 M。
（3）给 Bessie Y 加仑牛奶。
求 X 的最大值，使得 Farmer John 按照上述过程能够在 K 天后给 Bessie 至少 N 加仑牛奶（1≤K≤10^12）。

输入

输入仅有一行，包含三个空格分隔的正整数 N、K 和 M，满足 K⋅M<N。
注意这个问题涉及到的整数规模需要使用 64 位整数类型（例如，C/C++ 中的“long long”）。

输出

输出最大的正整数 X，使得按照上述过程 Farmer John 会给 Bessie 至少 N 加仑牛奶。

样例输入

10 3 3

样例输出

数据范围限制

测试点 1-3 满足 K≤10^5。
测试点 4-10 没有额外限制。

提示

在这个测试用例中，当 X=2 时 Farmer John 第一天给 Bessie 5 加仑，后两天每天给 Bessie M=3 加仑。

一看到题目，我们便能知道这是一道二分题……
题目思路：

每次先用二分查找求出x,接着判断一下x是否满足要求。如果可以，那么尝试找更大的x，反之缩小x，最终我们会找到x的最大值。大家好像都知道
如何去判断x是否满足条件呢？
其实就是去模拟，但是暴力就只能对4个点，时间复杂度为O(k log n)，所以这题的难点是如何进行优化。

设r为当前未还的奶量，day为当前的剩余偿还天数，q为每日的偿还量。
主要可以进行两方面的优化：
1.if q<=m，其实就不需要再模拟了，我们可以得到接下来的偿还量就是m*day。
2.if q>m,可能会有连续几天还同样的牛奶量的情况（49/10,45/10,41/10），如果知道这个连续的天数，不就可以按照上述方法进行优化吗?（假设这个天数为p）由题意得到两个不等式。通过化简可得p的值，如下图：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int MAX=2147483647;
const int N=1e6;
long long n,k,m,l,r,mid;
bool judge(long long x)
{long long r=n,day=k; //初始剩余未还牛奶数量和偿还期限； while(1){long long p,q;q=r/x;if(q<=m) return m*day>=r;  //小于m,剩余天数每天还m; p=min(day,r/q-x+1);          //注意天数要在范围之内r-=p*q;day-=p;if(r<=0) return 1;  //期限内还完 if(!day) return 0;  //到期还未还完 }
}
int main()
{//fre(loan);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);l=1,r=n;while(l<r){mid=(l+r+1)/2;if(judge(mid)) l=mid;else           r=mid-1;}printf("%lld\n",l);return 0;
}

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