【USACO 2020 January Silver】Loan Repayment

题目描述

Farmer John 欠了 Bessie N 加仑牛奶（1≤N≤10^12）。他必须在 K 天内将牛奶给 Bessie。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 Bessie 至少 M 加仑牛奶（1≤M≤10^12）。

以下是 Farmer John 决定偿还 Bessie 的方式。首先他选择一个正整数 X。然后他每天都重复以下过程：

假设 Farmer John 已经给了 Bessie G 加仑，计算 (N−G）/X 向下取整。令这个数为 Y。
如果 Y 小于 M，令 Y 等于 M。
给 Bessie Y 加仑牛奶。

求 X 的最大值，使得 Farmer John 按照上述过程能够在 K 天后给 Bessie 至少 N 加仑牛奶（1≤K≤10^12）。

输入

输入仅有一行，包含三个空格分隔的正整数 N、K 和 M，满足 K⋅M<N。
注意这个问题涉及到的整数规模需要使用 64 位整数类型（例如，C/C++ 中的“long long”）。

输出

输出最大的正整数 X，使得按照上述过程 Farmer John 会给 Bessie 至少 N 加仑牛奶。

样例输入

10 3 3

样例输出

数据范围限制

测试点 1-3 满足 K≤10^5。
测试点 4-10 没有额外限制。

提示

在这个测试用例中，当 X=2 时 Farmer John 第一天给 Bessie 5 加仑，后两天每天给 Bessie M=3 加仑。

思路：

根据题目K⋅M<N，可知道x<N，x的范围很大，所以第一时间想到的是log（n）的二分。

想到二分后，还要想，如何判断x是否成立，常规想法是O（K）的算法，可1≤K≤10^12，明显超时，那又得换方法了。

Y=(N−G）/X 向下取整，(N−G）会越来越小，那么也Y一定会越来越小，如果Y有一天<=M，那Y以后都等于M，那Y实际最后要交（剩余天数 * M）+ G 的牛奶。

再想Y没有小于M的时候，它可能交a天Y加仑牛奶，那a怎么求呢？我们知道(g-(a-1)y)/x>=y可以推出g/y-a+1>=x也就是g/y-x+1>=a ; (g-a * y)/x<y可推出g/y-x<a。结合两式可发现a=g/y-x+1。

核心算法：

//o为x
while(s>0){long long y=(n-g)/o;if(y<=m){g+=s*m;s=0;break;}else{long long a=(n-g)/y-o+1;if(a<=s){g+=a*y;s-=a;}else{g+=s*y;s=0;}}
}
return g;

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思路：

核心算法：

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