（纪中）2417. Loan Repayment【数学】

(File IO): input:loan.in output:loan.out
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题目描述
FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 欠了 BessieNBessie NBessieN 加仑牛奶（1≤N≤1012）（1≤N≤10^12）（1≤N≤1012）。他必须在 KKK 天内将牛奶给 BessieBessieBessie。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 BessieBessieBessie 至少 MMM 加仑牛奶（1≤M≤1012）（1≤M≤10^12）（1≤M≤1012）。
以下是 FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 决定偿还 BessieBessieBessie 的方式。首先他选择一个正整数 XXX。然后他每天都重复以下过程：
（1）假设 FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 已经给了 BessieGBessie GBessieG 加仑，计算 (N−G）/X(N−G）/X(N−G）/X 向下取整。令这个数为 YYY。
（2）如果 YYY 小于 MMM，令 YYY 等于 MMM。
（3）给 BessieYBessie YBessieY 加仑牛奶。
求 XXX 的最大值，使得 FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 按照上述过程能够在 KKK 天后给 BessieBessieBessie 至少 NNN 加仑牛奶（1≤K≤1012）（1≤K≤10^12）（1≤K≤1012）。

输入
输入仅有一行，包含三个空格分隔的正整数 N、KN、KN、K 和 MMM，满足 K⋅M<NK⋅M<NK⋅M<N。
注意这个问题涉及到的整数规模需要使用 646464 位整数类型（例如，C/C++中的“longlong”）C/C++ 中的“long long”）C/C++中的“longlong”）。

输出
输出最大的正整数 XXX，使得按照上述过程 FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 会给 BessieBessieBessie 至少 NNN 加仑牛奶。

样例输入
10 3 3

样例输出
2

数据范围限制
测试点 1−31-31−3 满足 K≤105K≤10^5K≤105。
测试点 4−104-104−10 没有额外限制。

提示
在这个测试用例中，当 X=2X=2X=2 时 FarmerJohnFarmer JohnFarmerJohn 第一天给Bessie5Bessie 5Bessie5 加仑，后两天每天给 BessieM=3Bessie M=3BessieM=3 加仑。

解题思路
首先一定是二分xxx，不必多说但是如果真的一天天扫过去，每次check()check()check()是O(k)O(k)O(k)的，明显超时，所以在check()check()check()时会使用类似除法分块的方法。假设现在剩下了rrr的欠债，还剩t天
循环退出条件：r⩽0∣∣t==0r⩽0∣∣t==0r⩽0∣∣t==0，这时直接通过r⩽0r⩽0r⩽0的成立与否判断x的成立与否。。
那么y=⌊r/x⌋y=⌊ r/x ⌋y=⌊r/x⌋如果y<=my<=my<=m，那么直接就以mmm为每天的还债量，于是r−=tm,t=0r-=tm,t=0r−=tm,t=0。
否则就计算一下会有连续多少天的每日还债量是yyy，假设这种情况持续aaa天，那么可以知道在a−1a-1a−1天之后的还债量=y=y=y，而aaa天之后的还债量<y<y<y。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n,k,m,l,r,mid;
bool check(long long x)
{long long kk=k,nn=n;while(1){long long y,yy;y=nn/x;if(y<m)return m*kk>=nn;yy=nn/y-x+1;if(yy>kk)yy=kk;nn-=yy*y;kk-=yy;if(nn<=0)return 1;if(kk==0)return 0;}
}
int main(){freopen("loan.in","r",stdin);freopen("loan.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);l=1,r=n;while(l<r){mid=(l+r+1)/2;if(check(mid))l=mid;elser=mid-1;}    printf("%lld",l);
}

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