最大公约数的四种算法

一.题目分析
运行最大公约数的常用算法，并进行程序的调式与测试，要求程序设计风格良好，并添加异常处理模块（如输入非法等）。用四种方法进行运算。
1．辗转相除法：
其算法过程为：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数
a、大数放a中、小数放b中；
b、求a/b的余数；
c、若temp=0则b为最大公约数；
d、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
f、返回第二步；
2.穷举法：
穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。
3.更相减损法：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行，第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
4.Stein算法：
对两个正整数 x>y ：
（1）.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；
（2）.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
（3）.x奇y偶gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；
（4）.x偶y奇 gcd( x,y ) = gcd( x/2,y ) 或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；

二.算法构造
1.辗转相除法：
（1）流程图：

（2）N-S图：

2.穷举法：
（1）流程图·：
（2）N-S图

3．更相减损法：
（1）流程图：

（2）N-S图：

4．Stein算法：
（1）流程图：

（2）N-S图：

三.算法实现
程序源代码（请写入必要的注释）。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
//辗转相除法
int divisor1 (int a,int b) /自定义函数求两数的最大公约数/
{
int temp; /定义整型变量/
if(a<b) /通过比较求出两个数中的最大值和最小值/
{ temp=a;a=b;b=temp;} /设置中间变量进行两数交换/
while(b!=0) /通过循环求两数的余数，直到余数为0/
{
temp=a%b;
a=b; /变量数值交换/
b=temp;
}
return (a); /返回最大公约数到调用函数处/
}

//穷举法
int divisor2 (int a,int b) /自定义函数求两数的最大公约数/
{
int temp; /定义义整型变量/
temp=(a>b)?b:a; /采种条件运算表达式求出两个数中的最小值/
while(temp>0)
{
if (a%temp0&&b%temp0) /只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环/
break;
temp–; /如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除/
}
return (temp); /返回满足条件的数到主调函数处/
}

//更相减损法
int gcd(int m,int n)
{
int i=0,temp,x;
while(m%20 && n%20) //判断m和n能被多少个2整除
{
m/=2;
n/=2;
i+=1;
}
if(m<n) //m保存大的值
{
temp=m;
m=n;
n=temp;
}
while(x)
{
x=m-n;
m=(n>x)?n:x;
n=(n<x)?n:x;
if(n==(m-n))
break;
}
if(i==0)
return n;
else
return (int )pow(2,i)*n;
}

//Stein算法
int Stein( unsigned int x, unsigned int y )
/* return the greatest common divisor of x and y /
{
int factor = 0;
int temp;
if ( x < y )
{
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
if ( 0 == y )
{
return 0;
}
while ( x != y )
{
if ( x & 0x1 )
{/ when x is odd /
if ( y & 0x1 )
{/ when x and y are both odd /
y = ( x - y ) >> 1;
x -= y;
}
else
{/ when x is odd and y is even /
y >>= 1;
}
}
else
{/ when x is even /
if ( y & 0x1 )
{/ when x is even and y is odd /
x >>= 1;
if ( x < y )
{
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
}
else
{/ when x and y are both even */
x >>= 1;
y >>= 1;
++factor;
}
}
}
return ( x << factor );
}

int main()
{
clock_t start,finish;
srand(2);
double time;
int i,j,m,n,GCD;
int a[100][2];
printf(“请输入所要求的最大公约数的组数：\n”);
scanf("%d",&n);
start=clock();//开始时间
for(i=0;i<n;i++)//获取随机数
{
for(j=0;j<2;j++)
{
a[i][j]=rand()%100;
printf("%d “,a[i][j]);
}
}
printf(”\n");
for(m=0;m<n;m++)//输出结果
{
printf(“辗转相除法的最大公约数为%d\n”,GCD=divisor1(a[m][0],a[m][1]));
printf(“穷举法的最大公约数为%d\n”,GCD=divisor2(a[m][0],a[m][1]));
printf(“更相减损法的最大公约数为%d\n”,GCD=gcd(a[m][0],a[m][1]));
printf(“Stein算法的最大公约数为%d\n”,GCD=Stein(a[m][0],a[m][1]));
}
finish=clock();//结束时间
time=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
printf(“RunningTime:\n%f 毫秒\n”,time);//输出运行时间
return 0;
}

四.调试、测试及运行结果

五.经验归纳
这次试验我学到了计算最大公约数的四种方法，和计算运行时间的方法，还有产生随机数的方法，并进行调试与测试。运行的过程中遇到了很多错误，尽力改正了。

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