求最大公约数的4种算法（C++）

一、实验目的
1.计算两个正整数的最大公约数和最小公倍数，并进行程序的调式与测试。
2.理解四种不同的求最大公约数的方法，学习其思维模式。
3.了解算法的概念。对问题的分析时，进行合适的算法设计。
二、算法设计
1.题目分析
（1）首先输入一对正整数，对两个数进行判断，若不是正整数，则给出提示并重新输入，直至两个数均为正整数为止。
（2）将两个数传入计算最大公约数的函数和计算最小公倍数的函数中，求解输出。
（3）验证各种算法的效率，在求解函数之前设置一个计时器开始运行，在函数执行完毕后，结束计时，计算出两个时间节点的差，即可得出每个函数执行一定次数的时间。规定统一的次数，将每种算法所用时间进行对比即可。
2.算法设计
1.辗转相除法，又称欧几里得算法。用于计算两个正整数a，b的最大公约数和最小公倍数，其依赖于gcd(a,b) = a (b=0)和gcd(b,a mod b) (b!=0).
2．穷举法，也叫枚举法，求最大公约数时从两者中较小的数开始，由大到小列举，直到找到第一个公约数为止。
3.更相减损法，若两个正整数都为偶数，则用2约简，直到不能约简为止。然后用大数减小数，将差与较小的数比较，再以大数减小数，直到减数和差相等为止。
4. Stein算法，两个数均为偶数时有公约数2，且公约数一定为偶数。一个奇数一个偶数时，因为其奇偶性的不同，所以其最大公约数一定为奇数。当两个数均为奇数时，其最大公约数一定是奇数。
三、业务流程图设计
欧几里得算法：

穷举法：

更相减损法：

Stein算法：

四、主要代码（2.0.0版）

/*********************************************************************************
*FileName:  Test1.cpp
*Author:  Qixiang.Su
*e-mail:  617992304@qq.com
*Version:  2.0.0
*Date:  2019.3.10
*Description: 求两个正整数的最大公约数和最小公倍数
*             理解各种算法求解过程
*History:
1.Date:    2019.3.10
Author:  Elf.苏洛曦
Modification:   Create  project
2.Date:    2019.3.12
Author: Elf.苏洛曦
Modification:   1.0.0版
3.Date:    2019.3.14
Author:  Elf.苏洛曦
Modification:   2.0.0版
**********************************************************************************/
#include<iostream>
#include<time.h>
using namespace std;int t1, t2, s, w;//辗转相除法求最大公约数函数
int divisor(int a, int b) {int temp;//比较两个数的大小，值大的数为a，值小的数为bif (a < b) {temp = a;a = b;b = temp;}//求余while (b != 0) {temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;
}//求最小公倍数
int multiple(int a, int b) {int divisor(int a, int b);int temp;temp = divisor(a, b);return(a * b / temp);
}//函数递归调用求最大公约数
int gcd(int a, int b) {if (a % b == 0) {return b;}else {return gcd(b, a % b);}
}//穷举法求最大公约数
int divisor1(int a, int b) {int temp;temp = (a > b) ? b : a;   //求较小值while (temp > 0) {if (a % temp == 0 && b % temp == 0) {break;}else {temp--;}}return (temp);
}//穷举法求最小公倍数
int multiple1(int a, int b) {int p, q, temp;p = (a > b) ? a : b;  //求两数中的最大值q = (a > b) ? b : a;  //求两数中的最小值temp = p;while (1) {if (p % q == 0) {break;}else {p += temp;}}return (p);
}//更相减损法求最大公约数
int gcd1(int a, int b) {int i = 0, temp, x = 0;while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) {    //m,n有公约数2时a /= 2;b /= 2;i += 1;}//a,b的值互换if (a < b) {temp = a;a = b;b = temp;}while (x) {x = a - b;a = (b > x) ? b : x;   b = (b < x) ? b : x;if (b == (a - b)) {    //差和减数相等break;}}if (i == 0) {return b;}else {return (int)pow(2, i)*b;}
}//输入正整数
int setNumber() {int a;cout << "请输入正整数：" << endl;cin >> a;if (a <= 0) {cout << "您输入的数值不符合规范（要求：正整数)" << endl;setNumber();}else {return a;}
}//Stein算法函数非递归调用求最大公约数
int Stein(unsigned int x, unsigned int y) {int factor = 0;   //计数器int temp;//大数赋给x，小数赋给yif (x < y) {temp = x;x = y;y = temp;}if (0 == y) {return 0;}while (x != y) {if (x & 0x1) {if (y & 0x1) {   //x,y都为奇数y = (x - y) >> 1;x -= y;}else {    // x为奇数，y为偶数y >>= 1;}}else {if (y & 0x1) {   // x为偶数，y为奇数x >>= 1;if (x < y) {temp = x;x = y;y = temp;}}else {   //x,y均为偶数x >>= 1;y >>= 1;++factor;}}}return (x << factor);
}//Stein算法函数递归调用求最大公约数
int gcd2(int u, int v) {if (u == 0) {return v;}if (v == 0) {return u;}if (~u & 1) {if (v & 1) {return gcd2(u >> 1, v);}else {return gcd2(u >> 1, v >> 1) << 1;}}if (~v & 1) {return gcd2(u, v >> 1);}if (u > v) {return gcd2((u - v) >> 1, v);}return gcd2((v - u) >> 1, u);
}//获得两个正整数的最大公约数和最小公倍数
void getResult() {s = setNumber();w = setNumber();int count;cout << "请输入你想循环的次数：" << endl;cin >> count;clock_t strat = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = divisor(s, w);t2 = multiple(s, w);}clock_t end = clock();cout << "辗转相除法函数嵌套调用所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end - strat << "毫秒"<<endl;cout << endl;clock_t strat1 = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = gcd(s, w);t2 = multiple(s, w);}clock_t end1 = clock();cout << "辗转相除法函数递归调用所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end1 - strat1 << "毫秒" << endl;cout << endl;clock_t strat2 = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = divisor1(s, w);t2 = multiple1(s, w);}clock_t end2 = clock();cout << "穷举法所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end2 - strat2 << "毫秒" << endl;cout << endl;clock_t strat3 = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = gcd(s, w);t2 = multiple(s, w);}clock_t end3 = clock();cout << "更相减损法所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end3 - strat3 << "毫秒" << endl;cout << endl;clock_t strat4 = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = Stein(s, w);t2 = multiple(s, w);}clock_t end4 = clock();cout << "Stein算法非递归调用所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end4 - strat4 << "毫秒" << endl;cout << endl;clock_t strat5 = clock();for (int i = 0; i < count; i++) {t1 = gcd2(s, w);t2 = multiple(s, w);}clock_t end5 = clock();cout << "Stein算法递归调用所求结果:" << endl;cout << s << "和" << w << "的最大公约数为：" << t1 << endl;cout << s << "和" << w << "的最小公倍数为：" << t2 << endl;cout << "运行" << count << "次所花时间为：" << end5 - strat5 << "毫秒" << endl;cout << endl;}int main() {getResult();system("pause");
}

五、调试和测试
1.在1.0.0版本中
一次进行测试，出现了错误，如下图：

在编译时没有错误，在运行过程也无错误，在结果中，穷举法的结果与其他的不同。对穷举法进行单独测试，结果如下：

与实际不符，结果也是错误的，通过逐语句调试

发现求最大公约数中temp的值存在异常，通过仔细检查，将while(temp > 0)写成了while(temp = 0)，嵌套出现了层次错误。改正后，运行结果如下：

最大公约数正确，最小公倍数错误，对求最小公倍数的函数进行逐语句后

p和q的值相同，存在错误，仔细检查后发现将(a>b)写成了(a<b),改正过后，结果均正确，如下图：

2. 2.0.0版本
在2.0.0版本中取消了1.0.0版本中的输入要求数的对数，增加了对一组数据想要循环次数的输入，这样免去了测试时手动输入多组数据的程序。

通过监视，查看各个变量的变化情况,如下图：

（1）输入两个正整数15和9，执行求解代码100000次，比较各种算法的速度，结果如下图：

从结果可以看出Stein算法非递归比较快，数字较小时，穷举法所用时间也比较短。

（2）输入两个正整数143和345，执行求解代码100000次，比较各种算法的速度，结果如下图：

在数字较大时且函数循环次数较多之后，Stein算法的执行速度还是很快，而穷举法需要的时间大幅度增长，其他几种算法的时间相差不大。
（3）输入两个正整数12和8，执行求解代码100000次，比较各种算法的速度，结果如下图：

数字较小时，穷举法的优势还是很明显，执行速度优于其他几种算法。
同时通过上面的几组测试发现，非递归的速度要优于递归。
六、总结
通过本次实验，学习到了求最大公约数几种常见的算法，对算法也有了一定的认识。也领略到了算法的思维的精妙之处。在上机过程中也出现了一些错误，通过逐步调试也解决了问题。在程序上，还存在一些缺陷，在进行速度的测试时，仅用一组数据的循环次数来判断，这种情况下，就忽略了手动输入数据时数据的复杂性。在输入正整数时仅对数字的正负性进行了判断，而对于其他会出现异常的情况，如在输入数字时误输入字母、符号等，未进行处理。没有通过正则表达式来判断输入，也未将异常进行捕捉和抛出。所以要学习的设计方法还有很多，只有学习到更多的处理方法，才能让自己的程序更具健壮性。

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