Prim算法（java）

一、Prim算法介绍

Prim（普利姆）算法是一种构造最小生成树的算法。Prim算法的时间复杂度为O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)，不依赖于EEE，因此它适用于求解边稠密的图的最小生成树。

二、Prim算法原理

（1）初始时从图中任取一顶点加入最小生成树MinTree顶点集合中。
（2）选择一个与当前MinTree中顶点集合距离最近的顶点，并将该顶点和相应的边加入MinTree中，每次操作后MinTree中的顶点数和边数都增1。
（3）重复（2）步骤，直到所有顶点都加入到MinTree中，得到最小生成树。此时MinTree中有n−1n-1n−1条边。

三、Prim算法图解

构造图（a）的最小生成树过程如下：
（1）从顶点V1V_{1}V1开始，离V1V_{1}V1最近的三个顶点为V2、V3、V4V_{2}、V_{3}、V_{4}V2、V3、V4，选取权值最小的顶点V3V_{3}V3，加入顶点集合中，并将边<V1，V3V_{1}，V_{3}V1，V3>加入最小生成树中。（如图b所示）
（2）此时顶点集合为（V1，V3V_{1}，V_{3}V1，V3），离顶点集合中最近的顶点为V2、V4、V5、V6V_{2}、V_{4}、V_{5}、V_{6}V2、V4、V5、V6，选取权值最小的顶点V6V_{6}V6，加入顶点集合中，并将边<V3，V6V_{3}，V_{6}V3，V6>加入最小生成树中。（如图c所示）
（3）此时顶点集合为（V1，V3，V6V_{1}，V_{3}，V_{6}V1，V3，V6），离顶点集合中最近的顶点为V2、V4、V5V_{2}、V_{4}、V_{5}V2、V4、V5，选取权值最小的顶点V4V_{4}V4，加入顶点集合中，并将边<V6，V4V_{6}，V_{4}V6，V4>加入最小生成树中。（如图d所示）
（3）此时顶点集合为（V1，V3，V6、V4V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4}V1，V3，V6、V4），离顶点集合中最近的顶点为V2、V5V_{2}、V_{5}V2、V5，选取权值最小的顶点V2V_{2}V2，加入顶点集合中，并将边<V3，V2V_{3}，V_{2}V3，V2>加入最小生成树中。（如图e所示）
（4）此时顶点集合为（V1，V3，V6、V4、V2V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4}、V_{2}V1，V3，V6、V4、V2），离顶点集合中最近的顶点为V5V_{5}V5，选取权值最小的顶点V5V_{5}V5，加入顶点集合中，并将边<V2，V5V_{2}，V_{5}V2，V5>加入最小生成树中。（如图f所示）
（5）此时顶点集合为（V1，V3，V6、V4，V2、V5V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4}，V_{2}、V_{5}V1，V3，V6、V4，V2、V5），所有顶点已加入到集合中。最小生成树的边为<V1，V3V_{1}，V_{3}V1，V3>、<V3，V6V_{3}，V_{6}V3，V6>、<V6，V4V_{6}，V_{4}V6，V4>、<V3，V2V_{3}，V_{2}V3，V2>、<V2，V5V_{2}，V_{5}V2，V5>。

四、Prim算法代码实现

package com.haiyang.algorithm.prim;/*** @author haiYang* @create 2022-02-01 16:57*/
public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int vertexs = data.length;//maxValue表示两个顶点之前没有边int maxValue = Integer.MAX_VALUE;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,maxValue表示两个点不联通int[][] weight = new int[][]{{maxValue, 5, 7, maxValue, maxValue, maxValue, 2},{5, maxValue, maxValue, 9, maxValue, maxValue, 3},{7, maxValue, maxValue, maxValue, 8, maxValue, maxValue},{maxValue, 9, maxValue, maxValue, maxValue, 4, maxValue},{maxValue, maxValue, 8, maxValue, maxValue, 5, 4},{maxValue, maxValue, maxValue, 4, 5, maxValue, 6},{2, 3, maxValue, maxValue, 4, 6, maxValue}};Graph graph = new Graph(vertexs, data, weight);prim(graph, 0);}/*** @param graph 图* @param v     开始顶点*/public static void prim(Graph graph, int v) {//标记已访问顶点int[] visited = new int[graph.vertexs];//将开始顶点标记已访问visited[v] = 1;//h1、h2标记最小的权值weight位置int h1 = -1;int h2 = -1;//记录最小权值int minWeight = Integer.MAX_VALUE;//除开始顶点，将其他graph.verrtexs-1个顶点进行选取for (int k = 1; k < graph.vertexs; k++) {//遍历图的所有情况，找到此轮的最小权值连接的顶点for (int i = 0; i < graph.vertexs; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertexs; j++) {//选取的顶点要求：i是已经选取的的顶点，j是为选取的顶点，找到满足情况的最小权值，记录位置if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}//将此轮选取的最小权值连接的顶点信息输出System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值=" + minWeight);//将此轮选取的顶点标记为已访问visited[h2] = 1;//重新初始化minWeight值minWeight = Integer.MAX_VALUE;}}
}/*** 图类*/
class Graph {int vertexs; //表示顶点个数char[] data;//存放顶点数据int[][] weight; //使用邻接矩阵存放边public Graph(int vertexs, char[] data, int[][] weight) {this.vertexs = vertexs;this.data = data;this.weight = weight;}
}

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