Prim算法（JAVA实现-邻接矩阵）

简介

最小生成树介绍

Prim 算法本质就是就是求最小生成树问题，最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
N个顶点，一定有N-1条边
包含全部顶点
N-1条边都在图中

图示

普利姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

(1) 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
(2) 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
(3) 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
(4) 重复步骤(2)，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

普里姆算法最佳实践(解决修路问题)

(1) 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
(2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
(3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

解决过程图示

(1) 连接所有村庄

(2) 以A 点为起点开始处理

A—C
A—G (最短)
A—B

(3) 自 A， G 开始和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理

A—C
A—B
G—B （最短）
G—E
G—F

(4) 自 A，G， B 开始和他们相邻的还没有访问的节点进行处理

A—C
A—B
G—E （最短）
G—F
B—D

(5) 自 A，G， B，E 开始和他们相邻的还没有访问的节点进行处理

A—C
A—B
G—F
B—D
E—F （最短）
E—C

(6) 自 A，G， B，E，F 开始和他们相邻的还没有访问的节点进行处理

A—C
A—B
G—F
B—D
E—C
F—D （最短）

(7) 自 A，G， B，E，F 开始和他们相邻的还没有访问的节点进行处理

A—C（最短）
A—B
G—F
B—D
E—C

到现在为止，所有节点均已被访问即生成最小路径完成

代码

核心代码

package com.learn.bigdata.java.core.arithmetic;import java.util.Arrays;/*** 普利姆算法*/
public class Prim {public static volatile int MAX = Integer.MAX_VALUE; // 表示到不了的边public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] matrix) {for (int k = 0; k < vertex; k++) {graph.data[k] = data[k];for (int j = 0; j < vertex; j++) {graph.matrix[k][j] = matrix[k][j];}}}public void showGraph(MGraph graph) {for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {int link[] = graph.matrix[i];System.out.println(Arrays.toString(link).replaceAll(Prim.MAX + "","∞"));}}/*** 普利姆核心算法* @param graph* @param v*/public void primCore(MGraph graph, int v) {int visited[] = new int[graph.vertex];visited[v] = 1;int vertex = graph.vertex;int minWeight = Prim.MAX;for (int k = 1; k < vertex; k++) {int t1 = -1;int t2 = -1;for (int i =0; i < vertex; i++) {for (int j = 0; j < vertex; j++) {boolean flag = visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.matrix[i][j] < minWeight;if (flag) {minWeight = graph.matrix[i][j];t1 = i;t2 = j;}}}//找到一条边是最小System.out.println("边 <" + graph.data[t1] + "," + graph.data[t2] + "> 权值:" + minWeight);visited[t2] = 1;minWeight = Prim.MAX;}}}class MGraph{int vertex; //节点个数char [] data; // 存放节点数据int [][] matrix; // 存放边, 邻接矩阵public MGraph(int vertex){this.vertex = vertex;data = new char[vertex];matrix = new int[vertex][vertex];}
}

测试代码

package com.learn.bigdata.java.core.arithmetic;import org.junit.Test;public class PrimTest {@Testpublic void prim() {char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int MAX = Prim.MAX;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,M 这个 表示无穷大的大数，表示两个点不联通//     *  | A  |  B  |  C  |  D  |  E  |  F |  G  |//     A  | M  |  5  |  7  |  M  |  M  |  M |  2  |//     B  | 5  |  M  |  M  |  9  |  M  |  M |  3  |//     C  | 7  |  M  |  M  |  M  |  8  |  M |  M  |//     D  | M  |  9  |  M  |  M  |  M  |  4 |  M  |//     E  | M  |  M  |  8  |  M  |  M  |  5 |  4  |//     F  | M  |  M  |  M  |  4  |  5  |  M |  6  |//     G  | 2  |  3  |  M  |  M  |  4  |  6 |  M  |int[][] weight = new int[][]{{MAX, 5, 7, MAX, MAX, MAX, 2},{5, MAX, MAX, 9, MAX, MAX, 3},{7, MAX, MAX, MAX, 8, MAX, MAX},{MAX, 9, MAX, MAX, MAX, 4, MAX},{MAX, MAX, 8, MAX, MAX, 5, 4},{MAX, MAX, MAX, 4, 5, MAX, 6},{2, 3, MAX, MAX, 4, 6, MAX},};// 生成图MGraph mGraph = new MGraph(data.length);Prim prim = new Prim();prim.createGraph(mGraph, data.length, data, weight);prim.primCore(mGraph, 1); // 3 2 4 5 4 7}
}

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