文章目录

常用的二进制表格
- 公式
- 求素数|筛选素数
- - 规律一：素数定理
  - 规律二：
  - 我们要找第100002个素数
  - - Java中的Math.log(double d)
    - 题解
- 快速幂运算
- - 方法一
  - 方法二
- 全排列

常用的二进制表格

奇数的二进制的最低位一定为1	a & 1 ==1 为奇数	a & 1 == 0偶数
二进制右移1位等价于除以2，且更快	a>>1 == a/2	1010>>1 == 101(可用于检测每一位是0还是1)
A^A = 0	A^0=0	A ^ A ^ A = A ^ 0 = A
二进制减法 -1	从右往左第一个1变为0,此1右边的0全变为1	1011001-1=101100 101100-1=101011
利用(x-1)&x可以消掉最低位的1	二的整数次方二进制中只含一个1	1.不断右移与1相与来判断二进制数1的个数 2.不断左移1来与二进制数相与来判断1的个数
与运算：与1相与是”保留“，与0相与是”消除“	异或：不同位为1	10010 & 01010来保留偶数位 (1010101010 == 0xaaaaa) 10010 &10101来保留奇数位 )(0101010101 == 0x55555)

公式

求素数|筛选素数

规律一：素数定理

从不大于n的自然数(0-n)随机选一个，它是素数的概率大约是
（n不为0和1)

这里的概率可以理解为频率

逆向思考：

100个中出现素数的概率是1/ln 100； 100 *（1/1n 100）就代表100个当中素数的个数

规律二：

观察合数9：

它的因数：1 * 9 3 * 3

观察合数15：

它的因数：除了 1 和 15 外是 3和5

观察合数20:

它的因数： 1* 20 2 * 10 4*5

发现这些合数总是2的倍数，3的倍数，4的倍速…（当然这是小学的知识…）

2	3	5	7	9	11	13	15
2	3	5	7	9	11	13	15
2	3	5	7		11	13
2	3	5	7		11	13

所以我们从2开始，在允许的范围内，标记2的倍数，3的倍数…(这些数一定是合数)

我们要找第100002个素数

如果采用传统的一个一个的判断的话时间复杂度就会变成 O(n*logn),这里取100002明显是会超时的

//是否是素数public static boolean isPrime(int x){boolean isPrime = true;if(x ==1 || x%2 == 0 && x != 2 ){isPrime = false;}else{for( int i = 3; i< Math.sqrt(x); i += 2){if( x%i == 0){isPrime = false;break;}}}return isPrime;}

Java中的Math.log(double d)

Java 的Math.log(double a) 函数是以e(2.71828…)为底来计算的，也就是数学中的ln a
如果我们想知道log(2)(1000万)的计算结果，应该怎么做呢？

利用换底公式：

在Java中就是：

Math.log(1000*10000) / Math.log(2)

Math.log的返回值是double

为了方便口算，贴一下log其他公式(其中a^b代表 a的b次幂)：

a^(log(a)(b))=b
log(a)(a^b)=b
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

题解

//where至少是4public static int wherePrime(int where){if(where == 1){return 2;}if (where == 2){return 3;}if (where == 3){ //这三个if保持了一定的鲁棒性，但是where为负数和0还没处理....return 5;}int n = 2;//java中的log 其实是lnwhile(n / Math.log(n) < where){++n;}int [] arr = new int[n];int x = 2;//从二开始 标识它们的整数倍while(x < n){if(arr[x] != 0){//被标记过的直接跳过++x;continue;}int k = 2;//从2倍开始while (x * k < n){arr[x * k] = -1;++k;}++x;}int cnt = 0;int primevalue =0 ;//第where个素数for (int i = 2; i < arr.length; i++) {if(arr[i] == 0){++cnt;}if (cnt == where){primevalue = i;break;}}return primevalue;}

快速幂运算

求一a的n次方，a为整数，n可能很大且不为负数

方法一

public static long ax(long a,long x) throws Exception {if (x < 0){throw new Exception("no no no!!!");}if(a == 0){if (x == 0)return 1;return 0;}if (a!=0 && x==0){return 1;}//前面三if是解决鲁棒性if(x==1){//递归出口return a;}long ex = 1;long temp = a;long ret = 1;//a的11(10)次方先求5次a的2次方while((ex<<1) < x){temp  = temp*temp; //a的2次方 翻翻ex = ex << 1;}//再求剩下的1（0）次方//当x为偶数 x -ex == 0//奇数  x - ex == 1ret = ret*ax(a,x-ex);return ret * temp;// 剩下的次方与 中间的结果相乘}

初始指数ex	指数 x	循环条件ex<<1	进入循环后ex
1	1	2	不满足条件进不了循环
1	5	2	2
2	5	4	4
4	5	8	退出循环 ex = 4不变

1	2	2	不满足条件进不了循环
1	6	2	2
2	6	4	4
4	6	8	退出循环 ex = 4不变

  while((ex<<1) < x){temp  = temp*temp; //a的2次方 翻翻ex = ex << 1;}

方法二

巧用二进制

public static long ax0(long a,long x) throws Exception {if (x < 0){throw new Exception("no no no!!!");}if(a == 0){if (x == 0)return 1;return 0;}if (a!=0 && x==0){return 1;}//前面三if是解决鲁棒性long temp = a;long ret = 1;while (x!=0){//指数x至少为1if ((x & 1) == 1){//最低位是1：通过不断左移来判断ret = ret*temp;//temp就是二进制位对应下的次方}//每移位一次，幂 累乘方一次temp = temp*temp;// a a2 a4 a8//右移x一位x =  x >> 1;}return  ret;}

测试

long now = System.currentTimeMillis();
System.out.println(ax(2,50));
System.out.println(System.currentTimeMillis()-now + "ms");
now = System.currentTimeMillis();
System.out.println(ax0(2,50));
System.out.println(System.currentTimeMillis()-now + "ms");

全排列

将一个数组进行全排列，用递归的方法，其实就是分成两步：
- 每个元素都要做一次首元素
- 从第二个元素到最后一个元素进行全排列

以树形来看->从偷图人那里偷的图：

对1 - （n-1）进行全排列的时候，与整体做全排列是一样的步骤:

每个元素都要做一次首元素
从第后一个元素到最后一个元素进行全排列

将arr数组p->q进行全排列

//全排列
public static void perm(int []arr,int p,int q){if(q<p || p<0 || q<0 || q>=arr.length){return;}//递归出口if(p == q){printArray(arr);//没有return 因为这是个有限的for循环 }else {for (int i = p; i <= q; i++) {//外层循环就是全排列数组的每一个数都要开头来一次swap(arr,p,i);//以第i个数开头perm(arr,p+1,q);//以第i个数开头全排列结束，进入递归里面可以发现，递归也会进行本循环，只是i初始化为p+1而已...进入下一层...swap(arr,p,i);//执行到这就表示上一个全排列完成了，恢复位置 这样数组就保持原样未改变}}
}
//交换数组中的两个数public static void swap(int []arr,int i,int j){if(i <0 || j< 0){return;}int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}//打印数组public static void printArray(int []arr){if (arr==null){return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i]+"\t");}System.out.println("");}

对代码中swap操作的再理解

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