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Data Constraint

Solution

观察题目，就可以得出有变换：

Ai=∑j=1nAj∗Pi,j

A_i=\sum_{j=1}^{n}{A_j*P_{i,j}}
那么用 O(N3)O(N^3) 的高斯消元就可以通过 52% 的数据。
要 AC 此题，就要用到 MCMC（Markov Chain-Monte Carlo，⻢尔科夫链蒙特卡洛）算法 。
天啊！什么高大上的算法？
随机得出⼀个概率向量 AA，计算 A∗PkA*P^k，输出即可。
其实就是随意使某个位置为 11（例如使 A1=1A_1=1），其它位置为 00 。
之后不断执行 O(N2)O(N^2) 的变换，AA 始终会变成所求的行向量（别问我为什么）。
要使用这个MCMC算法呢，就要什么变换需没周期性、不可约，具体可参考zhiyong_will的博客。
具体实现的时候可以写⼀个 whilewhile 循环，直到

Maxni=1|Ai−Bi|<10−15

Max^{n}_{i=1} |Ai − Bi|
⼀般来说 kmax=12k_{max}=12 ，则时间复杂度 O(k∗N2)O(k*N^2) 。

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef double DB;
const int N=2505;
const DB eps=1e-15;
int n,a,b,c;
int q[N];
DB p[N][N],f[N],g[N];
int main()
{scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);for(int i=1;i<=n;i++){int s=q[1]=(a*q[n]+b)%c;for(int j=2;j<=n;j++) s+=q[j]=(a*q[j-1]+b)%c;s+=n;for(int j=1;j<=n;j++) p[i][j]=((DB)q[j]+1)/s;}f[1]=1;while(true){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) g[j]+=f[i]*p[i][j];bool pd=true;for(int i=1;i<=n;i++)if(fabs(f[i]-g[i])>eps){pd=false;break;}if(pd) break;for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=g[i],g[i]=0;}for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.18lf ",g[i]);return 0;
}

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