两个坐标系进行了缩放平移后的变换关系

背景

我遇到的情况是这样的：

一幅图片上有若干个特征点，而这些点的坐标是基于该图片的坐标系（左上角为原点），我需要把这幅图片放置到窗口的某个范围（图片拉伸填充该范围），这个窗口有自己的坐标系，与图片的坐标系不同。因此该图片放置到这个窗口中某个范围后，图片中的特征点的坐标都发生了变换。目标就是求这个变换关系。

变换关系

实际上这是二维平面的坐标变换，由于只涉及到了缩放和平移，因此该变换可以写作

其中xwx_wxw, ywy_wyw是窗口坐标系下的坐标，xpx_pxp, ypy_pyp是图片坐标系下的坐标。
s1s_1s1, s2s_2s2, t0t_0t0, t1t_1t1 是这个变换的系数，分别对应缩放和平移，这4个系数需要根据图片范围，和图片所在窗口范围计算。

不失一般性地假设图片范围为xpo,ypo,wpo,hpo{x_{po}},{y_{po}}, {w_{po}}, {h_{po}}xpo,ypo,wpo,hpo。虽然图片原点一般为(0,0), 我们还是假设xpo,ypo{x_{po}},{y_{po}}xpo,ypo, 因为可能我们以后需要在一张大图片截取一部分嵌入到窗口中，这时xpo,ypo{x_{po}},{y_{po}}xpo,ypo就不是0了。

窗口的范围为xwo,ywo,wwo,hwo{x_{wo}},{y_{wo}}, {w_{wo}}, {h_{wo}}xwo,ywo,wwo,hwo

这时一个简单的解方程的问题，解得

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