Levenberg-Marquardt快速入门教程

本文附的源程序是MATLAB代码，总共不到80行，实现了求雅克比矩阵的解析解，演示了Levenberg-Marquardt最优化迭代过程，演示了如何求解拟合问题。本文用图文介绍了LM算法。转帖请注明来自蜜蜂电脑，谢谢！

作者：沈乐君（www.shenlejun.cn）

什么是最优化，可分为几大类？
答：Levenberg-Marquardt算法是最优化算法中的一种。最优化是寻找使得函数值最小的参数向量。它的应用领域非常广泛，如：经济学、管理优化、网络分析、最优设计、机械或电子设计等等。
根据求导数的方法，可分为2大类。第一类，若f具有解析函数形式，知道x后求导数速度快。第二类，使用数值差分来求导数。
根据使用模型不同，分为非约束最优化、约束最优化、最小二乘最优化。

什么是Levenberg-Marquardt算法？
它是使用最广泛的非线性最小二乘算法，中文为列文伯格-马夸尔特法。它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的说，属于“爬山”法的一种。它同时具有梯度法和牛顿法的优点。当λ很小时，步长等于牛顿法步长，当λ很大时，步长约等于梯度下降法的步长。在作者的科研项目中曾经使用过多次。图1显示了算法从起点，根据函数梯度信息，不断爬升直到最高点（最大值）的迭代过程。共进行了12步。（备注：图1中绿色线条为迭代过程）。

图1 LM算法迭代过程形象描述

图1中，算法从山脚开始不断迭代。可以看到，它的寻优速度是比较快的，在山腰部分直接利用梯度大幅度提升（参见后文例子程序中lamda较小时），快到山顶时经过几次尝试（lamda较大时），最后达到顶峰（最大值点），算法终止。

如何快速学习LM算法？

学习该算法的主要困难是入门难。要么国内中文教材太艰涩难懂，要么太抽象例子太少。目前，我看到的最好的英文入门教程是K. Madsen等人的《Methods for non-linear least squares problems》本来想把原文翻译一下，贴到这里。请让我偷个懒吧。能找到这里的读者，应该都是E文好手，我翻译得不清不楚，反而事倍功半了。

可在下面的链接中找到
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/public/publications.php? year=&pubtype=7&pubsubtype=&section=1&cmd=full_view&lastndays=&order=author
或者直接下载pdf原文：
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf

例子程序（MATLAB源程序）
本程序不到100行，实现了求雅克比矩阵的解析解，Levenberg-Marquardt最优化迭代，演示了如何求解拟合问题。采用《数学试验》（第二版）中p190例2来演示。在MATLAB中可直接运行得到最优解。

% 计算函数f的雅克比矩阵，是解析式

syms a b y x real;

f=a*exp(-b*x);

Jsym=jacobian(f,[a b])

% 拟合用数据。参见《数学试验》，p190，例2

data_1=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];

obs_1=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];

% 2. LM算法

% 初始猜测s

a0=10; b0=0.5;

y_init = a0*exp(-b0*data_1);

% 数据个数

Ndata=length(obs_1);

% 参数维数

Nparams=2;

% 迭代最大次数

n_iters=50;

% LM算法的阻尼系数初值

lamda=0.01;

% step1: 变量赋值

updateJ=1;

a_est=a0;

b_est=b0;

% step2: 迭代

for it=1:n_iters

if updateJ==1

% 根据当前估计值，计算雅克比矩阵

J=zeros(Ndata,Nparams);

for i=1:length(data_1)

J(i,:)=[exp(-b_est*data_1(i)) -a_est*data_1(i)*exp(-b_est*data_1(i))];

end

% 根据当前参数，得到函数值

y_est = a_est*exp(-b_est*data_1);

% 计算误差

d=obs_1-y_est;

% 计算（拟）海塞矩阵

H=J'*J;

% 若是第一次迭代，计算误差

if it==1

e=dot(d,d);

end

% 根据阻尼系数lamda混合得到H矩阵

H_lm=H+(lamda*eye(Nparams,Nparams));

% 计算步长dp，并根据步长计算新的可能的\参数估计值

dp=inv(H_lm)*(J'*d(:));

g = J'*d(:);

a_lm=a_est+dp(1);

b_lm=b_est+dp(2);

% 计算新的可能估计值对应的y和计算残差e

y_est_lm = a_lm*exp(-b_lm*data_1);

d_lm=obs_1-y_est_lm;

e_lm=dot(d_lm,d_lm);

% 根据误差，决定如何更新参数和阻尼系数

if e_lm<e

lamda=lamda/10;

a_est=a_lm;

b_est=b_lm;

e=e_lm;

disp(e);

updateJ=1;

else

updateJ=0;

lamda=lamda*10;

end

%显示优化的结果

a_est

b_est

演示程序求解的问题是《数学试验》（萧树铁,第二版,高等教育出版社）中p190例2。为了方便读者，提供该书籍的数据和目标函数照片（2012年4月1日）。本文来自:ｓｈｅｎｌｅｊｕｎ．ｃｎ.

C++源码

转载于:https://www.cnblogs.com/rotten_potato/p/3275316.html

Levenberg-Marquardt快速入门教程相关推荐

BIML 101 - ETL数据清洗系列 - BIML 快速入门教程 - 序
BIML 101 - BIML 快速入门教程做大数据的项目,最花时间的就是数据清洗. 没有一个相对可靠的数据,数据分析就是无木之舟,无水之源. 如果你已经进了ETL这个坑,而且预算有限,并且有大量的 ...
HealthKit开发快速入门教程大学霸内部教程
HealthKit开发快速入门教程大学霸内部教程国内第一本HealthKit专向教程.本教程详细讲解iOS中,如何使用HealthKit框架开发健康应用.最后,本教程结合HealthKit ...
Apple Watch开发快速入门教程
Apple Watch开发快速入门教程试读下载地址:http://pan.baidu.com/s/1eQ8JdR0 介绍:苹果为Watch提供全新的开发框架WatchKit.本教程是国内第一本A ...
指示灯组与3个复位按钮的介绍Arduino Yun快速入门教程
指示灯组与3个复位按钮的介绍Arduino Yun快速入门教程 1.4.2 指示灯组指示灯组的放大图如图1.5所示. 图1.5 指示灯组各个指示灯对应的功能如下: q RX:对应于0号端口 ...
游戏控制杆OUYA游戏开发快速入门教程
游戏控制杆OUYA游戏开发快速入门教程 1.2.2 游戏控制杆游戏控制杆各个角度的视图,如图1-4所示,它的硬件规格是本文选自OUYA游戏开发快速入门教程大学霸: 图1-4 游戏控制杆各个角度的 ...
Arduino Yun的主要部件介绍选自Arduino Yun快速入门教程
Arduino Yun的主要部件介绍 1.4.1 主要部件 Yun的主要部件如图1.4所示. 图1.4 Arduino Yun的主要部件在Yun小小的板子上集成了两颗处理器.一个是ATmega3 ...
认识AndEngine选自Android 2D游戏引擎AndEngine快速入门教程
认识AndEngine什么是AndEngine 随着Android手机.平板的盛行,Android下的游戏也不断的变得火热.而对于游戏开发有兴趣的同学们,应该也想要学习开发游戏.虽说游戏开发的引擎较多 ...
OUYA游戏开发快速入门教程1.2OUYA的硬件规格
OUYA游戏开发快速入门教程1.2OUYA的硬件规格从官网上购买回来的OUYA产品,包含游戏主机.游戏控制杆.说明书.电源线.HDMI线.电源线和电池,如图1-2所示.本节就来简要介绍下,游戏主机和 ...
Android 2D游戏引擎AndEngine快速入门教程
Android 2D游戏引擎AndEngine快速入门教程介绍:AndEngine是一款知名的Android 2D游戏引擎.该引擎代码开源,并且可以免费使用.本书详细讲解如何使用AndEngine引 ...
OUYA游戏开发快速入门教程第1章了解OUYA及其设备
OUYA游戏开发快速入门教程第1章了解OUYA及其设备 OUYA是基于Andorid系统的游戏主机.围绕OUYA游戏机,已经形成一个完整的生态圈.在国外,OUYA已经成为知名的游戏平台.本章会站在玩家 ...

Levenberg-Marquardt快速入门教程

Levenberg-Marquardt快速入门教程相关推荐

最新文章

热门文章