提要

平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离得到另一个图形，这种变换称为平移变换。根据需要，平移的对象可以是线段，直线，角，圆，整个图形等。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。平移前后的线段，角，弧长，面积保持不变，平移前后的线段平行，对应点连线平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致，这种性质在解题中起着重要作用。平移的实质就是一种转化。通过平移，寻求已知条件与所求问题之间的关系，从而找到更为合理的解题之路。

知识全解

一．平移法的概念

利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移法。平移法是分析和解决几何问题，函数图像问题的重要方法之一。若题设中有平行条件或委托中关于线段或角的已知条件位置分散，常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。

理解平移应注意以下3点：1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，这里所说的平移是指在同一平面内的图形变换；2.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；3.平移是由平移的方向和距离决定的，平移的方向是图形上某一点到它对应点的方向，平移的距离是图形上某一点与它的对应点所连线段的长度；4.图形的平移实质上是将图形上所有点按同一方向移动同样的距离。

二．平面直角坐标系中的平移

(1)平面直角坐标系中直线的平移：直线y=kx+b(k≠0)平移前后系数k的值不变。直线向上，下平移m(m>0)个单位分别得y=kx+b+m,y=kx+b-m；向左，右平移m个单位分别得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。

坐标系中图形的平移，实质上是点的平移。

学法指导

类型1 平面几何中的平移

例1 如图所示，梯形ABCD中，AD‖BC，∠B+∠C=90度，M,N分别是AD,BC的中点，求证：MN=(BC-AD)/2

【解析】平移两腰，作ME‖AB交BC于E，MF‖CD交BC于F，则得到平行四边形ABEM，CDMF，直角三角形MEF，根据平行四边形的性质易得EF=BC-AD，又因为MN是Rt△MEF斜边上的中线，所有MN=1/2EF，即MN=(BC-AD)/2

【点评】本题经过平移使线段，角的位置发生变化，从而条件和结论互相靠拢，为解题创造了条件。

类型2 平面直角坐标系中的平移

例2 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上

(1)B点关于y轴的对称点坐标为__

(2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1

(3)在(2)的条件下，点A1的坐标为__

【解析】(1)由图1知，点B的坐标为(3，2)，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所有B点关于y轴对称的点的坐标应是(-3，2)

(2)可以由图1得出O,A,B三点的坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，2)，向左平移3个单位长度后得到对应三点的坐标分别为O1(-3，0)，A1(-2，3)，B1(0，2)，在坐标系中描出这三点后再顺次连接即可；也可以根据平移的性质作出三角形△A1O1B1，如图2所示。

(3)点A1的坐标为(-2，3)

【点评】由平移方式求出三角形3个顶点的对应点的坐标，在坐标系中标出对应点，顺次连接即得平移后的图形。

链接中考

考点1 平移方法

例1 如图所示，在方格纸中，线段a,b,c,d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()

A.3种 B.6种 C.8种 D.12种

【解析】由图，根据勾股定理可得：a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因为a+b

如下图所示，通过平移a,b,d其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移法有6种。

【点评】本题利用平移的知识解决问题，有利于创新能力的培养。

考点2 平移性质

例2 如图所示，四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点，连接EF分别交AC,BD于P,Q两点。求证：∠OPQ=∠OQP

【解析】出现中点，故能想到添加中位线，达到平移角的目的。取AD的中点G，连接EF,FG，则∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP

∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC

∴EG=GF

∴∠GFP=∠GEP

∴∠OPQ=∠OQP

【点评】本题还可以取BC的中点，利用平行线的性质(内错角相等)达到转化角的目的。

考点3 平移直线

例3 (1)直线y=2x+1向下平移2个单位后的表达式是__

(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后的表达式是__

【解析】易知该直线与y轴的交点坐标为A(0,1)，且根据一次函数性质，直线平移后比例系数k不变，仍是2，于是可设平移后的函数表达式为y=2x+b

(1)设平移后的函数表达式为y=2x+b。直线y=2x+1向下平移2个单位后，A点的坐标变为(0，-1)，代入y=2x+b中，解得b=-1，此时函数表达式为y=2x-1。

(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后，A点坐标变为(2，1)，代入y=2x+b，解得b=-3，此时函数表达式为y=2x-3

【点评】直线的平移规律，可以借助直线上几个特殊点的坐标变化来找到。

考点4 平移抛物线

【解析】(1)令x=0，则y=c，故C(0,c)

∵OC的距离为3

∴|c|=3，即c=±3

∴C(0,3)或(0，-3)

(2)∵x1·x2<0，∴x1,x2异号

1.若C(0,3)，即c=3

把C(0,3)代入y2=-3x+t，即0+t=3，即t=3

∴y2=-3x+3

把A(x1,0)代入y2=-3x+3，即-3x1+3=0，即x1=1

∴A(1,0)

∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0

∵|x1|+|x2|=4

∴1-x2=4

解得：x2=-3,则B(-3，0)

则当x≤1 时，y随x增大而增大

2. 若C(0,-3)，即c=-3，把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则

0+t=-3，即t=-3

∴y2=-3x-3

把A(x1,0)代入y2=-3x-3，则

-3x1-3=0，即x1=-1

∴A(-1,0)

∵x1,x2异号,x1=-1<0,∴x2>0

∵|x1|+|x2|=4

∴1+x2=4

解得：x2=3,则B(3，0)

则当x≥1 时，y随x增大而增大

综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤-1

若若c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1

【点评】此题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键。