智能优化算法应用：基于麻雀搜索算法的积分计算

文章目录

智能优化算法应用：基于麻雀搜索算法的积分计算
- 1.麻雀优化算法
- 2.基于麻雀搜索算法的积分计算原理和步骤
- 3.算法实验
- 4.参考文献：
- 5.Matlab代码

摘要：本文提出了一种基于麻雀搜索算法的积分计算算法。该方法的基本思路是: 先在积分区间内产生一些随机分割点( 不一定是等距分割点)，然后用麻雀优化算法对这些分割点进行优化，将优化后得到的最优分割点从小到大排序并作为该区间的分割点，这些分割点结合 Simpson3/8 积分公式进行数值计算。

1.麻雀优化算法

麻雀搜索算法具体原理请参照：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108830958

2.基于麻雀搜索算法的积分计算原理和步骤

提出的基于麻雀算法求任意函数数值积分算法流程可归结如下:

Step1：初始化麻雀搜索算法相关参数，如种群数量，搜索维度等。在被积区间内［a，b］随机生成初始种群
X=(X1,X2,...,XN)(1)X = (X_1,X_2,...,X_N) \tag{1} X=(X1,X2,...,XN)(1)
其中:Xi=(Xi1,Xi2,...,Xin);Xik∈[a,b]X_i=(X_{i1},X_{i2},...,X_{in}); X_{ik}\in [a,b]Xi=(Xi1,Xi2,...,Xin);Xik∈[a,b]表示第 kkk 个节点，nnn表示积分区间内的节点数。

Step2:计算适应度并进行排序。先将随机产生的每个个体置于积分区间的左右端点之间，并按照升序排列，这样就得到 n+2n+2n+2个节点和 n+1n+1n+1 小段，再分别计算这 n+2n + 2n+2 个节点相邻节点之间的距离 dj,j=1,2,…,n+1d_j,j=1,2,…,n+1dj,j=1,2,…,n+1及这n+2n+2n+2个节点对应的函数值和每小段中点对应的函数值，确定每小段左右端点和中间点的 3个函数值中，记下最大函数值$max,Y_j
$ 、最小函数值minYj,j=1,2,…,n+1min\,Y_j,j = 1,2,…,n +1minYj,j=1,2,…,n+1．并定义适应度为:
fj=∑j=1n+1∣maxYj−minYj∣dj(2)f_j=\sum_{j=1}^{n+1}|maxY_j-minY_j|d_j\tag{2} fj=j=1∑n+1∣maxYj−minYj∣dj(2)
越小表明分割方法越好。

Step3:根据计算的适应度

Step4:根据麻雀算法位置更新公式更新位置

Step5：计算适应度值，并更新最优位置

Step6：若未达到最大迭代次数 TmaxT_{max}Tmax ，则返回步骤4;否则，输出全局最优位置;

Step7:计算定积分值。将所求的最优分割点[a,x1,...,xn,b][a,x_1,...,x_n,b][a,x1,...,xn,b],分别代入数值积分式进行计算(a=x0,b=xn+1)(a = x_0,b=x_{n+1})(a=x0,b=xn+1)，得出:
J1=∑j=0n+1{f(xj+1)+f(xj)}∗dj/2(3)J_1 = \sum_{j=0}^{n+1}\{f(x_{j+1}) + f(x_j)\}*d_j/2 \tag{3} J1=j=0∑n+1{f(xj+1)+f(xj)}∗dj/2(3)

J2=∑j=0n+1{f(xj+1)+4f(xj+1+xj2)+f(xj)}∗dj/6(3)J_2= \sum_{j=0}^{n+1}\{f(x_{j+1}) + 4f(\frac{x_{j+1}+x_j}{2})+f(x_j)\}*d_j/6 \tag{3} J2=j=0∑n+1{f(xj+1)+4f(2xj+1+xj)+f(xj)}∗dj/6(3)

J3=∑j=0n+1{f(xj+1)+3f(2xj+1+xj3)+3f(xj+1+2xj3)+f(xj)}∗dj/8(4)J3 =\sum_{j=0}^{n+1}\{f(x_{j+1}) + 3f(\frac{2x_{j+1}+x_j}{3})+3f(\frac{x_{j+1}+2x_j}{3})+f(x_j)\}*d_j/8 \tag{4} J3=j=0∑n+1{f(xj+1)+3f(32xj+1+xj)+3f(3xj+1+2xj)+f(xj)}∗dj/8(4)

3.算法实验

为了验证本文提出算法的有效性和正确性，选取了几个典型的数值积分函数。取 N= 20，D = 60，分别计算 6 个函数的在[0,2]的积分值。函数信息如下：
f1=x2(5)f1 = x^2 \tag{5} f1=x2(5)

f2=x4(6)f2 = x^4 \tag{6} f2=x4(6)

f3=1+x2(7)f3 = \sqrt{1+x^2}\tag{7} f3=1+x2(7)

f4=1x+1(8)f4 =\frac{1}{x+1}\tag{8} f4=x+11(8)

f5=sin(x)(9)f5=sin(x)\tag{9} f5=sin(x)(9)

f6=ex(10)f6 = e^x\tag{10} f6=ex(10)

名称	f1	f2	f3	f4	f5	f6
理论精确解	2.667	6.400	2.958	1.099	1.416	6.389
麻雀计算法得到的J1	2.6674	6.404	2.9581	1.0987	1.4158	6.3896
麻雀计算法得到的J2	2.6667	6.400	2.9579	1.0986	1.4161	6.3891
麻雀计算法得到的J3	2.6667	6.400	2.9579	1.0986	1.4161	6.3891

收敛曲线如下图所示：

4.参考文献：

[1]黄基诞.基于改进灰狼优化算法的积分计算实验[J].实验室研究与探索,2020,39(11):16-19+66.

5.Matlab代码

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