【NOIP2016提高A组模拟9.24】天使的分裂

2024-05-12 07:06:13

题目

Input

一个整数n

Output

一行，一个整数，表示第0天到第n天的评估函数的值的和。

Sample Input

Input 1
5

Input 2
666666

Input 3
2147483648

Sample Output

Output 1
76

Output 2
324016098

Output 3
932937567
数据范围
70％：n<=106n
100％：n<=1018n

比赛时の想法

70％的递推还是很好想的吧，然而早就忘了矩阵乘法了233~

正解

首先递推式：F[i]:=F[i-1]+F[i-2]+f[i]（可以自行分析一下连线的规律~）
那么我们设置一个5*5的矩阵的说我们可以设置一个5 *5的矩阵，然后快速幂一下就可以了

关于矩阵乘法

由于我忘记如何van矩阵乘法了，就在这里打一下方便以后看QAQ
首先初始状态是a，然后我们构建一个矩阵，使得a*b就等于a中的变量i+1后各个量的值。那么最终我们的答案就是a∗bna*b^n，我们知道，矩阵乘法是有结合律的，所以我们可以用快速幂求出bnb^n，然后再乘一个a就可以了。构建矩阵的话就找一下几个量之间的关系就好咯QAQ
感觉自己这方面有点辣鸡啊~
快速幂的时候有c[i,j]=a[i,k]*b[k,j] 如果a是一维的那么i就恒为1

贴代码

constmd=998244353;
vara:array[1..5]of int64=(1,0,1,0,1);cc:array[1..5]of int64;e,q:array[1..5,1..5]of int64;b:array[1..5,1..5]of int64=((1,1,0,0,1),(1,0,0,0,1),(1,0,1,1,1),(1,0,1,0,1),(0,0,0,0,1));l,x,n:int64;i,j,k:longint;
procedure quick;
vari,j,k:longint;
beginfillchar(e,sizeof(e),0);for i:=1 to 5 dofor j:=1 to 5 dofor k:=1 to 5 doe[i,j]:=(e[i,j]+b[i,k]*q[k,j]) mod md;b:=e;
end;
procedure quick1;
vari,j,k:longint;
beginfillchar(e,sizeof(e),0);for i:=1 to 5 dofor j:=1 to 5 dofor k:=1 to 5 doe[i,j]:=(e[i,j]+q[i,k]*q[k,j]) mod md;q:=e;
end;
beginreadln(n);x:=n;q:=b;dec(n);while n>0 dobeginif n mod 2=1 then quick;quick1;n:=n div 2;end;for j:=1 to 5 dofor k:=1 to 5 docc[j]:=(cc[j]+a[k]*b[k,j]) mod md;if x=0 then cc[5]:=1;writeln(cc[5]);
end.

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