几何随机变量

1 定义

对于独立的重复试验，每次试验成功的概率为p,0≤p≤1p,0\le p \le 1p,0≤p≤1，我们知道nnn次试验成功的次数符合参数为(n,p)(n,p)(n,p)的二项分布。现在考虑随机变量XXX，XXX表示重复试验直到试验首次成功为止需要的试验次数，则有：
P{X=n}=p(1−p)n−1n=1,2,⋯P\{X = n\} = p(1-p)^{n-1} \ \ \ \ \ \ n = 1,2,\cdots P{X=n}=p(1−p)n−1 n=1,2,⋯
上式的含义为，试验到nnn次才成功的充要条件是试验的前n−1n-1n−1次失败，第nnn次试验成功，因为考虑的是独立的试验，因此上式成立。我们来对其求和：
∑n=1∞P{X=n}=p∑n=1∞(1−p)n−1=p1−(1−p)=1\sum_{n=1}^\infty P\{X = n\} =p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1} = \cfrac{p}{1-(1-p)} = 1 n=1∑∞P{X=n}=pn=1∑∞(1−p)n−1=1−(1−p)p=1
因此求和表明试验最终会成功的概率为1。如果随机变量的概率质量函数由上式给出，则称随机变量为几何随机变量。

2 几何随机变量的期望和方差

根据期望的公式有：
E[X]=∑n=1∞np(1−p)n−1=∑n=1∞(n−1+1)p(1−p)n−1=∑n=1∞(n−1)p(1−p)n−1+∑n=1∞p(1−p)n−1\begin{aligned} E[X]& = \sum_{n=1}^\infty np(1-p)^{n-1}\\ &= \sum_{n=1}^\infty (n - 1+1)p(1-p)^{n-1} \\ &= \sum_{n=1}^\infty (n - 1)p(1-p)^{n-1} +\sum_{n=1}^\infty p(1-p)^{n-1} \end{aligned} E[X]=n=1∑∞np(1−p)n−1=n=1∑∞(n−1+1)p(1−p)n−1=n=1∑∞(n−1)p(1−p)n−1+n=1∑∞p(1−p)n−1
通过观察上式，我们发现加好右边就是上面的概率和，即为1，同时令i=n−1i = n-1i=n−1则有
E[X]=∑i=0∞ip(1−p)i+1=(1−p)∑i=1∞ip(1−p)i−1+1=(1−p)E[X]+1\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i=0}^\infty ip(1-p)^i +1 \\ &= (1-p)\sum_{i=1}^\infty ip(1-p)^{i-1} + 1\\ &= (1-p)E[X] +1 \end{aligned} E[X]=i=0∑∞ip(1−p)i+1=(1−p)i=1∑∞ip(1−p)i−1+1=(1−p)E[X]+1
因此：
E[X]=1pE[X] = \cfrac{1}{p} E[X]=p1
计算方差之前还是先来计算E[X2]E[X^2]E[X2]，推导的方法与期望类似：
E[X2]=∑n=1∞n2p(1−p)n−1=∑n=1∞(n−1+1)2p(1−p)n−1=∑n=1∞(n−1)2p(1−p)n−1+2∑n=1∞(n−1)p(1−p)n−1+∑n=1∞p(1−p)n−1=(1−p)E[X2]+2(1−p)E[X]+1\begin{aligned} E[X^2] &= \sum_{n=1}^\infty n^2p(1-p)^{n-1}\\ &=\sum_{n=1}^\infty (n-1+1)^2p(1-p)^{n-1} \\ &= \sum_{n=1}^\infty (n-1)^2p(1-p)^{n-1} + 2\sum_{n=1}^\infty (n-1)p(1-p)^{n-1} + \sum_{n=1}^\infty p(1-p)^{n-1}\\ &=(1-p)E[X^2] + 2(1-p)E[X] + 1 \end{aligned} E[X2]=n=1∑∞n2p(1−p)n−1=n=1∑∞(n−1+1)2p(1−p)n−1=n=1∑∞(n−1)2p(1−p)n−1+2n=1∑∞(n−1)p(1−p)n−1+n=1∑∞p(1−p)n−1=(1−p)E[X2]+2(1−p)E[X]+1
因此可得E[X2]E[X^2]E[X2]：
E[X2]=2−pp2E[X^2] = \cfrac{2-p}{p^2} E[X2]=p22−p
方差Var(X)Var(X)Var(X)为：
Var(X)=E[X2]−E[X]2=1−pp2Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \cfrac{1-p}{p^2} Var(X)=E[X2]−E[X]2=p21−p

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross

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