概率论——泊松随机变量

文章目录

1 泊松随机变量
2 泊松随机变量的期望和方差
3 泊松范例
4 计算泊松分布函数

1 泊松随机变量

如果一个取值于0,1,2,⋯0,1,2,\cdots0,1,2,⋯的随机变量对某一个λ>0\lambda\gt 0λ>0，其概率质量函数为：
p(i)=P{X=i}=e−λλii!i=0,1,2,⋯p(i) = P\{X=i\}=e^{-\lambda}\cfrac{\lambda^i}{i!}\ \ \ \ \ \ \ i=0,1,2,\cdots p(i)=P{X=i}=e−λi!λi i=0,1,2,⋯
则称该随机变量为服从参数λ\lambdaλ的泊松随机变量。对上述定义的概率质量函数求和为1：
∑i=0∞p(i)=e−λ∑i=0∞λii!=e−λeλ=1\sum_{i=0}^\infty p(i) = e^{-\lambda}\sum_{i=0}^\infty \cfrac{\lambda^i}{i!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1 i=0∑∞p(i)=e−λi=0∑∞i!λi=e−λeλ=1
泊松分布有非常广泛的应用，因为当nnn足够大，ppp充分小，而使得npnpnp保持适当的大小时，参数为(n,p)(n,p)(n,p)的二项随机变量可近似地看作是参数为λ=np\lambda = npλ=np的泊松随机变量。现来证明这一点：
假设随机变量XXX是一个服从参数为(n,p)(n,p)(n,p)的二项随机变量，并记λ=np\lambda = npλ=np，则有：
P{X=i}=n!(n−i)!i!∗pi(1−p)n−i=n!(n−i)!i!∗(λn)i(1−λn)n−i=n(n−1)⋯(n−i+1)ni∗λii!∗(1−λ/n)n(1−λ/n)I\begin{aligned} P\{X = i\} &= \cfrac{n!}{(n-i)!i!}*p^i(1-p)^{n-i} \\ &= \cfrac{n!}{(n-i)!i!}*(\cfrac{\lambda}{n})^i(1-\cfrac{\lambda}{n})^{n-i}\\ &= \cfrac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}*\cfrac{\lambda^i}{i!}*\cfrac{(1-\lambda/n)^n}{(1-\lambda/n)^I} \end{aligned} P{X=i}=(n−i)!i!n!∗pi(1−p)n−i=(n−i)!i!n!∗(nλ)i(1−nλ)n−i=nin(n−1)⋯(n−i+1)∗i!λi∗(1−λ/n)I(1−λ/n)n
对于充分大的nnn和适当的λ\lambdaλ有：
(1−λn)n≈e−λn(n−1)⋯(n−i+1)ni≈1(1−λ/n)i≈1\begin{aligned} &(1-\cfrac{\lambda}{n})^n\approx e^{-\lambda}\\ &\cfrac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i}\approx 1\\ &(1-\lambda/n)^i \approx 1 \end{aligned} (1−nλ)n≈e−λnin(n−1)⋯(n−i+1)≈1(1−λ/n)i≈1
因此：
p{X=i}≈e−λλii!p\{X=i\} \approx e^{-\lambda}\cfrac{\lambda^i}{i!} p{X=i}≈e−λi!λi
换句话说，独立重复地进行nnn次试验，每次成功的概率为ppp，当nnn充分大而ppp足够小，使得npnpnp保持适当的话，那么成功的次数近似地服从参数为λ=np\lambda = npλ=np的泊松分布，这个λ\lambdaλ值通常由经验确定。
总结成一句话就是：泊松随机变量近似于nnn很大，ppp很小的二项随机变量，λ=np\lambda = npλ=np。

2 泊松随机变量的期望和方差

首先计算期望，根据期望的计算公式有
E[X]=∑i=0∞i∗e−λλii!=λ∑i=1∞e−λλi−1(i−1)!E[X] = \sum_{i=0}^\infty \cfrac{i*e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} = \lambda\sum_{i=1}^\infty \cfrac{e^{-\lambda}\lambda^{i-1}}{(i-1)!} E[X]=i=0∑∞i!i∗e−λλi=λi=1∑∞(i−1)!e−λλi−1
令j=i−1j = i-1j=i−1上式得：
E[X]=λe−λ∑j=0∞λjj!=λe−λeλ=λE[X] = \lambda e^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty \cfrac{\lambda^{j}}{j!} = \lambda e^{-\lambda}e^\lambda = \lambda E[X]=λe−λj=0∑∞j!λj=λe−λeλ=λ
计算方差时则先计算E[X2]E[X^2]E[X2]：
E[X2]=∑i=0∞i2∗e−λλii!=λ∑i=1∞ie−λλi−1(i−1)!E[X^2] = \sum_{i=0}^\infty \cfrac{i^2*e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} = \lambda\sum_{i=1}^\infty \cfrac{ie^{-\lambda}\lambda^{i-1}}{(i-1)!} E[X2]=i=0∑∞i!i2∗e−λλi=λi=1∑∞(i−1)!ie−λλi−1
同样令j=i−1j = i-1j=i−1上式得：
E[X2]=λ∑j=0∞(j+1)e−λλjj!=λ[∑j=0∞je−λλjj!+∑j=0∞e−λλjj!]=λ(λ+1)E[X^2] = \lambda \sum_{j=0}^\infty \cfrac{(j+1)e^{-\lambda} \lambda^{j}}{j!} = \lambda[\sum_{j=0}^\infty \cfrac{je^{-\lambda} \lambda^{j}}{j!}+\sum_{j=0}^\infty \cfrac{e^{-\lambda} \lambda^{j}}{j!}] = \lambda(\lambda +1) E[X2]=λj=0∑∞j!(j+1)e−λλj=λ[j=0∑∞j!je−λλj+j=0∑∞j!e−λλj]=λ(λ+1)
根据方差与期望的关系，方差Var(X)Var(X)Var(X)得：
Var(X)=E[X2]−E[X]2=λVar(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \lambda Var(X)=E[X2]−E[X]2=λ
由此可见，泊松随机变量的期望和方差均等于参数λ\lambdaλ，那此时再来看看与泊松随机变量近似的二项随机变量的期望和方差，λ=np\lambda = npλ=np，二项随机变量的期望为npnpnp即为λ\lambdaλ，二项随机变量的方差为np(1−p)=λ(1−p)np(1-p) = \lambda(1-p)np(1−p)=λ(1−p)，由于ppp足够小，因此方差也近似为λ\lambdaλ。
泊松分布在试验并不独立但是弱相依条件下仍是比较好的近似。

3 泊松范例

考虑nnn个事件，第iii个事件发生的概率为pi,i=1⋯np_i,i=1\cdots npi,i=1⋯n，如果所有pip_ipi都很小，且试验或者独立，或者至多“弱相依”，那么事件发生次数近似地服从参数为∑i=1npi\sum_{i=1}^np_i∑i=1npi的泊松分布。

4 计算泊松分布函数

如果随机变量XXX服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，则：
P{X=i+1}=λi+1P{X=i}P\{X=i+1\} = \cfrac{\lambda}{i+1}P\{X = i\} P{X=i+1}=i+1λP{X=i}
因此要计算分布函数P{X≤i}P\{X\le i\}P{X≤i}便可以依据上面的推导关系编写程序计算了。例如：XXX服从均值为100的泊松分布，计算P{X≤90}P\{X\le 90\}P{X≤90}

import math
res = []
res_0 = pow(math.e, -100)
res.append(res_0)
for i in range(0,90):temp = (100/(i+1))*res[-1]res.append(temp)
print(sum(res))

输出结果为：

0.17138511932176242