机器学习基础知识之概率论的随机变量及其分布

❤️机器学习基础知识❤️之概率论的❤️随机变量及其分布❤️

文章目录

❤️机器学习基础知识❤️之概率论的❤️随机变量及其分布❤️
- 一、随机变量以及其分布
- - 1、连续变量
  - 2、离散变量
  - 3、概率密度
- 二、随机变量的数学期望
- - 1、数学期望的概念
  - 2、数学期望的定义
- 三、随机变量的方差以及标准差
- - 1、方差
  - 2、标准差
  - 3、标准差与方差
- 四、常用的离散的分布
- 五、常用的连续的分布函数
- 六、随机变量函数的分布
- 七、分布的其他的特征数

❤️本为主要在于介绍和讲解随机变量以及其分布了，希望对大家有一些帮助。。。。。。❤️

一、随机变量以及其分布

这里首先介绍随机变量及其分布的概念。

1、连续变量

随机变量
在随机现象之中，有很多的样本点，其本身就是使用数量进行表示的额，由于样本点出现的随机性，其数量呈现为随机变量，这就是我们所说的随机变量了。这其实是随机变量的一个通俗的理解了啦。
随机变量又分为：
1、离散随机变量；
2、连续随机变量。

随机变量的分布函数
随机变量的分布常常使用函数的形式来进行表述，这就是随机变量的分布函数。

任何一个随机变量都有自己的分布函数。

分布函数的性质：
1、单调性；
2、有界性；
3、右连续性（其实就是类似于连续性啦）。

以上的三条性质可以称为判别某一个函数是否可以成为一个分布函数的充要条件。

下面举一个例子：
柯西分布函数：
1、概率密度分布：

2、分布函数：

3、一些性质：


参数	x_0! 位置参数（实数）\gamma > 0! 尺度参数（实数）
值域	x \in (-\infty; +\infty)!
概率密度函数	\frac{1}{\pi\gamma,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} !
累积分布函数	\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
标记	{{{notation}}}
期望值	（没有定义）
中位数	x_0
众数	x_0
方差	（没有定义）
偏态	（没有定义）
峰态	（没有定义）
熵值	\ln(4,\pi,\gamma)!
动差生成函数	（没有定义）
特征函数	\exp(x_0,i,t-\gamma,

上面的公式有一些小问题，下面重新放一张图片进行显示性质：

2、离散变量

离散变量与连续变量的分布是类似的，只不过这里离散变量的分布函数也是离散的啦。

离散变量的分布函数通常使用分布列来进行描述分布，构成一个概率分布列或者说是分布列。

分布列的基本性质：
1、非负性；
2、正则性。

3、概率密度

概率密度是对于连续变量而言的，表示在某一段x的区间之上，单位长度的变量x所对应的概率的数值的大小。描述概率密度的函数叫做概率密度函数或者密度函数或者密度。

注意点
1、不可能事件的概率为0，但是概率为0的事件未必是不可能事件；
2、同样的，绝对事件的概率为1，但是，概率为1的事件未必是绝对事件。

二、随机变量的数学期望

1、数学期望的概念

数学期望实际上就是我们日常中说的平均值，当然了，有两种平均的方式：
1、算术平均；
2、加权平均。

2、数学期望的定义

三、随机变量的方差以及标准差

1、方差

2、标准差

3、标准差与方差

四、常用的离散的分布

这里由于一些公式比价难以敲上来，于是，我们采用手写的方法来进行常用的离散的分布的描述。（字的美丑问题不要太在意啦www…）

其实主要就是：
1、二项分布；
2、泊松分布；
3、超几何分布；
4、几何分布。

以上就是常用的离散的分布啦。

五、常用的连续的分布函数

这里也是同样的展示形式，主要有五个连续的分布函数：
1、正态分布（高斯分布）；
2、均匀分布；
3、指数分布；
4、伽马分布；
5、贝塔分布。
如下图所示：

以上就是常用的一些连续分布函数的表述了啦。上面是对常用的连续分布函数的一个简单的介绍，如果需要更细致的了解可以自行查阅相关的资料啦。

六、随机变量函数的分布

在实际的问题之中，我们感兴趣的是已经知道了随机变量的分布，然后需要去求解一个与当前随机变量有关的函数的具体的分布情况。

寻求随机变量函数的分布的问题，是概率论的基本技巧，在概率论与数理统计之中经常需要使用到这些技巧。

这里我们不在详细叙述，因为本质就是通过一个变量的分布，求解另一个变量的分布，最主要的方法其实是变量的代换，或者求解方程而已。而且我们在机器学习中不太会关注到这个方面的问题，因此不过多的叙述了啦。

七、分布的其他的特征数

主要是有六个分布的其他的特征数：
1、k阶矩；
2、变异系数；
3、分位数；
4、中位数（中位数是分位数的特例）；
5、偏度系数；
6、峰度系数。

具体的描述如下图所示：

本章的一些基础的习题我们就不展示了，主要是希望大家对这些基本的概念以及公式有一个比较清楚的理解和应用了啦。

END.

最后，感谢大家的阅读与支持，期待大家的点赞哦。如果觉得有些帮助的话，就点个赞吧（づ￣3￣）づ╭❤～。

本系列会持续更新，期待大家的持续关注(๑′ᴗ‵๑)Ｉ Lᵒᵛᵉᵧₒᵤ❤。