信号处理 | 维纳滤波推导

首先给出互相关函数定义：
rsx(m)=E[s(n)x(n−m)]r_{sx}(m)=E[s(n)x(n-m)] rsx(m)=E[s(n)x(n−m)]
以及自相关矩阵定义：
Rxx(i,j)=E[x(n−i)x(n−j)]R_{xx}(i,j)=E[x(n-i)x(n-j)] Rxx(i,j)=E[x(n−i)x(n−j)]
开始推，令信号模型为：
s^(n)=h(n)∗(s(n)+v(n))=h(n)∗x(n)=∑i=0Mh(i)x(n−i)\begin{aligned} \hat s(n)&=h(n)*(s(n)+v(n))\\ &=h(n)*x(n)\\ &=\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i) \end{aligned} s^(n)=h(n)∗(s(n)+v(n))=h(n)∗x(n)=i=0∑Mh(i)x(n−i)
其中： h=[h(0),h(1),⋯,h(M)]Th=[h(0),h(1),\cdots,h(M)]^Th=[h(0),h(1),⋯,h(M)]T为滤波器系数，MMM为滤波器阶数

误差定义为：
e(n)=s(n)−s^(n)e(n)=s(n)-\hat s(n) e(n)=s(n)−s^(n)
采用最小均方误差准则，均方误差定义为：
E[e(n)2]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−h(n)∗x(n))2]=E[s(n)2]−2E[s(n)∑i=0Mh(i)x(n−i)]+E[(∑i=0Mh(i)x(n−i))2]\begin{aligned} E[e(n)^2]&=E[(s(n)-\hat s(n))^2]=E[(s(n)-h(n)*x(n))^2]\\ &=E[s(n)^2]-2E[s(n)\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i)]+E[(\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i))^2]\\ \end{aligned} E[e(n)2]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−h(n)∗x(n))2]=E[s(n)2]−2E[s(n)i=0∑Mh(i)x(n−i)]+E[(i=0∑Mh(i)x(n−i))2]
其中：
E[s(n)∑i=0Mh(i)x(n−i)]=E[∑i=0Mh(i)s(n)x(n−i)]=∑i=0Mh(i)E[s(n)x(n−i)]=∑i=0Mh(i)rsx(i)=hTrsx\begin{aligned} E[s(n)\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i)]&=E[\sum_{i=0}^M h(i)s(n)x(n-i)]\\ &=\sum_{i=0}^M h(i)E[s(n)x(n-i)]\\ &=\sum_{i=0}^Mh(i)r_{sx}(i)\\ &=h^Tr_{sx} \end{aligned} E[s(n)i=0∑Mh(i)x(n−i)]=E[i=0∑Mh(i)s(n)x(n−i)]=i=0∑Mh(i)E[s(n)x(n−i)]=i=0∑Mh(i)rsx(i)=hTrsx

E[(∑i=0Mh(i)x(n−i))2]=E[∑i=0M∑j=0Mh(i)h(j)x(n−i)x(n−j)]=∑i=0M∑j=0Mh(i)h(j)E[x(n−i)x(n−j)]=∑i=0M∑j=0Mh(i)h(j)Rxx(i,j)=hTRxxh\begin{aligned} E[(\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i))^2]&=E[\sum_{i=0}^M\sum_{j=0}^Mh(i)h(j)x(n-i)x(n-j)]\\ &=\sum_{i=0}^M\sum_{j=0}^Mh(i)h(j)E[x(n-i)x(n-j)]\\ &=\sum_{i=0}^M\sum_{j=0}^Mh(i)h(j)R_{xx}(i,j)\\ &=h^TR_{xx}h \end{aligned} E[(i=0∑Mh(i)x(n−i))2]=E[i=0∑Mj=0∑Mh(i)h(j)x(n−i)x(n−j)]=i=0∑Mj=0∑Mh(i)h(j)E[x(n−i)x(n−j)]=i=0∑Mj=0∑Mh(i)h(j)Rxx(i,j)=hTRxxh

所以均方误差可以表示为：
E[e(n)2]=E[s(n)2]−2E[s(n)∑i=0Mh(i)x(n−i)]+E[(∑i=0Mh(i)x(n−i))2]=E[s(n)2]−2hTrsx+hTRxxh\begin{aligned} E[e(n)^2]&=E[s(n)^2]-2E[s(n)\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i)]+E[(\sum_{i=0}^M h(i)x(n-i))^2]\\ &=E[s(n)^2]-2h^Tr_{sx}+h^TR_{xx}h \end{aligned} E[e(n)2]=E[s(n)2]−2E[s(n)i=0∑Mh(i)x(n−i)]+E[(i=0∑Mh(i)x(n−i))2]=E[s(n)2]−2hTrsx+hTRxxh
两边对hhh求导，并令导数为0，得到：
∂E[e(n)2]∂h=−2rsx+2Rxxh=0\frac{\partial E[e(n)^2]}{\partial h}=-2r_{sx}+2R_{xx}h=0 ∂h∂E[e(n)2]=−2rsx+2Rxxh=0
RxxR_{xx}Rxx可逆，解得：
h=Rxx−1rsxh=R_{xx}^{-1}r_{sx} h=Rxx−1rsx

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