前言

这篇博客是对经典论文 Linear Transmit Processing in MIMO Communications Systems的摘记。这篇文章考虑的是收发端的各自独立信号处理设计，而非联合设计。继而，给出了匹配滤波、迫零滤波与维纳滤波这三种常见滤波方式的具体数学形式。

系统模型

考虑如图所示的一个线性系统模型，有：
y=Ps∈CNs~=G(HPs+η)∈CB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{s} \in \mathbb{C}^{N}\\ \tilde{\boldsymbol{s}}=\boldsymbol{G}(\boldsymbol{H P s}+\boldsymbol{\eta}) \in \mathbb{C}^{B} y=Ps∈CNs~=G(HPs+η)∈CB
BBB代表了数据流数。NNN代表发送天线数，MMM代表接收天线数。需要解释的是，最后的方框中的α1B\alpha\mathbf{1}_Bα1B是指将s~\tilde{\boldsymbol{s}}s~乘上一个标量实数α\alphaα，这对系统性能并不会有任何影响，但会影响发射机的设计，后面将会揭示。
同时，定义平均发送能量为：
E[∥y∥22]=E[∥Ps∥22]=tr⁡(PRsPH)=Etr⋅\mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{y}\|_{2}^{2}\right]=\mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right]=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}}\right)=E_{\mathrm{tr}} \cdot E[∥y∥22]=E[∥Ps∥22]=tr(PRsPH)=Etr⋅
信噪比可以定义为（平均了流数与接收天线数）：
γ=Etr/Btr⁡(Rη)/M\gamma=\frac{E_{\mathrm{tr}} / B}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}\right) / M} γ=tr(Rη)/MEtr/B
其中Rη\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}Rη代表噪声的协方差矩阵。

接收滤波

接收匹配滤波

Receive matched filter (RxMF)
RxMF 旨在最大化滤波器GGG的输出信噪比，这在噪声极大的场景下是最优的。具体地：
GMF=argmax⁡G∣E[sHs~]∣2E[∥Gη∣22]\boldsymbol{G}_{\mathrm{MF}}=\operatorname{argmax}_{G} \frac{\left|\mathrm{E}\left[\boldsymbol{s}^{\mathrm{H}} \tilde{\boldsymbol{s}}\right]\right|^{2}}{\mathrm{E}\left[\|\left.\boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}\right|_{2} ^{2}\right]} GMF=argmaxGE[∥Gη∣22]∣∣E[sHs~]∣∣2
分子中，通过作相关，提取出处理后信号中包含真实信号信息的能量值，去除掉噪声。分母则是经过滤波后的噪声能量。因此通过对上式求导置0，得到：
GMF=α′RsPHHHRη−1∈CB×M\boldsymbol{G}_{\mathrm{MF}}=\alpha^{\prime} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \in \mathbb{C}^{B \times M} GMF=α′RsPHHHRη−1∈CB×M
其中，α′\alpha^{\prime}α′为标量可以任意选取，并不影响接收信噪比，因此后文中可置为1. 相关简要推导放在了附录中。观察可以看到，接收信号抵达接收端时经历了HPHPHP,则对其的处理就是其转置PHHHP^HH^HPHHH。

接收迫零滤波

Receive Zero-Forcing Filter （RxZF)
迫零均衡的思路很简单，假定没有噪声，令处理后信号与原信号相等。也即:
s~∣η=0M=GHPs≡s\left.\tilde{\boldsymbol{s}}\right|_{\eta=\mathbf{0}_{M}}=\boldsymbol{G H P} \boldsymbol{s} \equiv \boldsymbol{s} s~∣η=0M=GHPs≡s
因此，GHPG H PGHP应为单位阵。
E[∥s−s~∥22]=E[∥Gη∥22]\mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right]=\mathrm{E}\left[\|G \boldsymbol{\eta}\|_{2}^{2}\right] E[∥s−s~∥22]=E[∥Gη∥22]
因此，RxZF的推导可以通过求解如下问题：
GZF=argmin⁡GE[∥Gη∥22]s.t.: GHP=1B\boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{G}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \boldsymbol{G H} \boldsymbol{P}=\mathbf{1}_{B} GZF=argminGE[∥Gη∥22] s.t.: GHP=1B
1B\mathbf{1}_{B}1B就是单位阵。该问题可以通过拉格朗日乘子法求解，过程也放在了附录之中。最优解为：
GZF=(PHHHRη−1HP)−1PHHHRη−1∈CB×M.\boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \in \mathbb{C}^{B \times M} . GZF=(PHHHRη−1HP)−1PHHHRη−1∈CB×M.
相较于匹配滤波，这里多了一项GZF=(PHHHRη−1HP)−1\boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1}GZF=(PHHHRη−1HP)−1，因此迫零滤波可以理解为是匹配滤波后再做了一步干扰消除。当Rη\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}Rη为单位阵 (或单位阵乘上标量）时，原式就退化为GZF=(PHHHHP)−1PHHH\boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}}GZF=(PHHHHP)−1PHHH。

接收维纳滤波

Receive Wiener Filter （RxWF）
维纳滤波器旨在最小化MSE值，也即:
GWF=argmin⁡GE[∥s−s~∥22]\boldsymbol{G}_{\mathrm{WF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{G}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right] GWF=argminGE[∥s−s~∥22]
令导数为0，可以得到：
GWF=(PHHHRη−1HP+Rs−1)−1PHHHRη−1\boldsymbol{G}_{\mathrm{WF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}}^{-1}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} GWF=(PHHHRη−1HP+Rs−1)−1PHHHRη−1
这里运用到了矩阵求逆引理，详见附录。注意到，当信噪比较低时，(PHHHRη−1HP+Rs−1)−1\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}}^{-1}\right)^{-1}(PHHHRη−1HP+Rs−1)−1退化为Rs\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}}Rs，维纳滤波器退化为匹配滤波。当信噪比较高时，退化为迫零滤波。

发送滤波

发送匹配滤波

类似地，可以通过如下优化问题求解：
PMF=argmax⁡P∣E[sHs~]∣2E[∥Gη∣∣22]s.t.: E[∥Ps∥22]=Etr\boldsymbol{P}_{\mathrm{MF}}=\operatorname{argmax}_{\boldsymbol{P}} \frac{\left|\mathrm{E}\left[\boldsymbol{s}^{\mathrm{H}} \tilde{\boldsymbol{s}}\right]\right|^{2}}{\mathrm{E}\left[\| \boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}||_{2}^{2}\right]} \quad \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right]=E_{\mathrm{tr}} PMF=argmaxPE[∥Gη∣∣22]∣∣E[sHs~]∣∣2 s.t.: E[∥Ps∥22]=Etr
这比接收滤波要容易求解因为分母是一个常数，直接通过拉格朗日乘子法可以得到：
PMF=βTxMFHHGH∈CN×BβTxMF=Etrtr⁡(HHGHRsGH)\begin{aligned} \boldsymbol{P}_{\mathrm{MF}} &=\beta_{\mathrm{TxMF}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} \\ \beta_{\mathrm{TxMF}} &=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\mathbf{s}} \boldsymbol{G H}\right)}} \end{aligned} PMFβTxMF=βTxMFHHGH∈CN×B=tr(HHGHRsGH)Etr
可以看到，发送匹配滤波和接收匹配滤波一样，都是信号接下来要经过的线性变换的共轭转置。

发送迫零滤波

与接收迫零滤波不同的时，此时除了令GHPGHPGHP为单位阵外，也期望最小化发送功率，因此优化问题可以表示为：
P~ZF=argmin⁡PE[∥Ps∥22]s.t.: GHP=1B\widetilde{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{ZF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{P}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P s}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \boldsymbol{G H} \boldsymbol{P}=\mathbf{1}_{B} PZF=argminPE[∥Ps∥22] s.t.: GHP=1B
通过拉格朗日乘子法可以得到：
P~ZF=HHGH(GHHHGH)−1∈CN×B.\tilde{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{ZF}}=\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \in \mathbb{C}^{N \times B} . P~ZF=HHGH(GHHHGH)−1∈CN×B.
然而这一解并不一定能满足功率约束。因此一种直觉的做法就是引入一个常数标量进行归一化。即：
PZF=βTxZFHHGH(GHHHGH)−1∈CN×B\boldsymbol{P}_{\mathrm{ZF}}=\beta_{\mathrm{TxZF}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \in \mathbb{C}^{N \times B} PZF=βTxZFHHGH(GHHHGH)−1∈CN×B
其中，
βTxZF=Etrtr⁡((GHHHGH)−1Rs)\beta_{\mathrm{TxZF}}=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\left(\boldsymbol{G H \boldsymbol { H } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { G } ^ { \mathrm { H } } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { s } } )}\right.\right.}} βTxZF=tr((GHHHGH)−1Rs)Etr

发送维纳滤波

假如仍以基本的MMSE为目标，维纳滤波的解由下式给出:
PCMMSE=argmin⁡PE[∥s−s~∥22]s.t.: E[∥Ps∥22]≤Etr⋅\boldsymbol{P}_{\mathrm{CMMSE}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{P}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right] \leq E_{\mathrm{tr}} \cdot PCMMSE=argminPE[∥s−s~∥22] s.t.: E[∥Ps∥22]≤Etr⋅
其解为：
PCMMSE=(HHGHGH+λ1N)−1HHGH∈CN×B\boldsymbol{P}_{\mathrm{CMMSE}}=\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}+\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} PCMMSE=(HHGHGH+λ1N)−1HHGH∈CN×B
其中λ\lambdaλ为拉格朗日乘子，用以满足功率约束。然而问题来了，此时发现λ\lambdaλ只与发送功率有关。当发送功率较大但噪声功率更大的低信噪比情况下，维纳滤波器仍会迫近与迫零滤波。根据push-through公式，有：
(HHGHGH+λ1N)−1HHGH=HHGH(GHHHGH+λ1N)−1\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}+\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} =\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} +\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1}(HHGHGH+λ1N)−1HHGH=HHGH(GHHHGH+λ1N)−1
也就是说，这样的滤波器并不具备考虑噪声的能力。

因此，进行改进，求解如下问题：
{PWF,βTxWF}=argmin⁡{P,β}E[∥s−β−1s~∥22]s.t.: E[∥Ps∥22]=Etr.\begin{aligned} \left\{\boldsymbol{P}_{\mathrm{WF}}, \beta_{\mathrm{TxWF}}\right\} &=\operatorname{argmin}_{\{\boldsymbol{P}, \beta\}} \mathrm{E}\left[\left\|\boldsymbol{s}-\beta^{-1} \tilde{\boldsymbol{s}}\right\|_{2}^{2}\right] \\ \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right] &=E_{\mathrm{tr}} . \end{aligned} {PWF,βTxWF} s.t.: E[∥Ps∥22]=argmin{P,β}E[∥∥s−β−1s~∥∥22]=Etr.
引入了标量因子β\betaβ，可以理解为接收机要将最后得到的信号除以β\betaβ。那么，β\betaβ将是越大越好的。因为如果发送滤波得到了更大的β\betaβ，意味着最后除掉时将噪声的能量也降低了。因此，问题成了寻找满足上述优化问题的PPP和最大的β\betaβ，通过拉格朗日乘子法，得到：
PWF=βTxWFF−1HHGH∈CN×B\boldsymbol{P}_{\mathrm{WF}}=\beta_{\mathrm{TxWF}} \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} PWF=βTxWFF−1HHGH∈CN×B
and
βTxWF=Etrtr⁡(F−2HHGHRsGH)\beta_{\mathrm{TxWF}}=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{F}^{-2} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{G H}\right)}} βTxWF=tr(F−2HHGHRsGH)Etr
where we defined
F=HHGHGH+tr⁡(GRηGH)Etr1N∈CN×N\boldsymbol{F}=H^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} H+\frac{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{R}_{\eta} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)}{E_{\mathrm{tr}}} \mathbf{1}_{N} \in \mathbb{C}^{N \times N} F=HHGHGH+Etrtr(GRηGH)1N∈CN×N
可以看到，它与不引入β\betaβ时的维纳滤波的差别在于，此时没有了拉格朗日乘子，且解与信噪比直接相关。

性能结果

附录

接收匹配滤波推导

接收迫零滤波推导

接收维纳滤波推导

其中的求逆公式参照博客： https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/118761178?spm=1001.2014.3001.5502

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