我写过层次分析法的Matlab实现：张敬信：【评价算法】层次分析法​zhuanlan.zhihu.com

其中的ahp函数是来自《吴鹏. Matlab高效编程技巧与应用：25个案例分析》，我只是增加或改写了注释说明。但是该函数对大家使用不太友好，非常复杂难用，倒不是函数定义的不好，只是因为它是将整个多层次的层次结构模型，一次代入该函数，一次完成全部的计算，所以就变得很复杂和难用。

这次重写一个简单易用的，一次只解决一个层次结构的层次分析法计算，多个结构多用几次就好了。层次分析法原理见上篇文章，这里不再赘述。

以么焕民老师在智慧树平台的数学建模课程中的，层次分析法案例为基础，来具体阐述。

问题描述：某人要出去旅游，有 3 个备选景点，需要从景色、费用、居住条件、饮食、旅途共5 个因素来考量。

一. 构建层次结构

二. 构造成对比较矩阵

5个因素分别记为X1，X2，X3，X4，X5

某人根据自己的考量，给出的成对比较矩阵：

以

为例，表示在某人看来费用比景色的相对重要程度是

，即认为费用是景色的

倍重要，其它矩阵元素的解释类似。

A = [ 1 1/2 4 3 3;

2 1 7 5 5;

1/4 1/7 1 1/2 1/3;

1/3 1/5 2 1 1;

1/3 1/5 3 1 1];

三. 计算权向量及一致性检验

么老师是用方根法近似计算的，实际上完全没有必要，直接用eig()函数算精确的就行了。两种方法我都实现一下。方根法近似计算

W = prod(A, 2) % 计算每一行乘积

n = size(A, 1); % 矩阵行数

W = nthroot(W, n) % 计算n次方根

W = W / sum(W) % 归一化处理, 计算特征向量, 即权向量

Lmax = mean((A * W) ./ W) % 计算最大特征值

2. 用eig()精确计算

[V,D] = eig(A)

[Lmax,ind] = max(diag(D)); % 求最大特征值及其位置

Lmax % 最大特征值

W = V(:,ind) / sum(V(:,ind)) % 最大特征值对应的特征向量做归一化, 即权向量

3. 再计算一致性指标和一致性比率

n = size(A, 1);

CI = (Lmax - n) / (n - 1) % 计算一致性指标

% Saaty随机一致性指标值

RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];

CR = CI / RI(n) % 计算一致性比率

一致性比率 CR=0.0161 < 0.1 满足一致性要求，故前面的权重向量可以使用。

关于一致性的解释：

是

的

倍重要，

是

的

倍重要，则

是

的

倍重要，所以在比较

与的

重要性时，不能和

倍相差太多。

四. 计算组合全向量及其一致性检验

以上只是计算完了层次结构中的：准则层

个因素对目标层的决策权重，即一个层次结构。

还有方案层分别对准则层的

个因素的层次结构需要计算。这可以理解为

个景点分别对每个因素的贡献度(重要度)。

5 个层次结构就是 5 个成对比较矩阵：

这就需要按上述计算 5遍。这怎么能忍，当然是自定义函数解决了。先来谈谈我对自定义函数的一些体会

需要重复做多次同一种计算过程(前面第三部分那一系列的计算)，一个好办法是，将该计算过程写成函数，就能方便多次使用了。

(1) 编程中的函数，是用来实现某个功能，其一般形式为：

(返回值1，..., 返回值m) = 函数名(输入1, ..., 输入n)

你只要把输入给它，它就能在内部进行相应处理，把你想要的返回值给你。

这些输入和返回值，在函数定义时，都要有固定的类型(模具)限制，叫做形参(形式上的参数)；在函数调用时，必须给它对应类型的具体数值，才能真正的去做处理，这叫做实参(实际的参数)。

所以，定义函数就好比创造一个模具，调用函数就好比用模具批量生成产品。

使用函数最大的好处，就是将实现某个功能，封装成模具，从而可以反复使用。这就避免了写大量重复的代码，程序的可读性也大大加强。

(2) 那么，怎么自定义一个函数？

我想要自定义一个函数，能够实现“完成一个层次结构的层次分析法的计算”的功能。

基于前面函数的理解，

第一步，分析输入和输出，设计函数外形：输入有几个 ，分别是什么，适合用什么数据类型存放；

输出有几个，分别是什么，适合用什么数据类型存放。

本问题，

输入有 1 个：成对比较矩阵(用矩阵存放)；

输出有4 个：权重向量(用向量存放)、最大特征值(浮点数存放)、一致性指标(浮点数存放)、一致性比率(浮点数存放)。

然后就可以基于 Matlab 自定义函数的语法，设计自定义函数的外形：

function[W, Lmax, CI, CR] =AHP(A)% 实现单层次结构的层次分析法

% 输入: A为成对比较矩阵

% 输出: W为权重向量, Lmax为最大特征值, CI为一致性指标, CR为一致性比率

注：函数名和变量可以随便起名，但是建议用有含义的单词。另外，为函数增加注释是一个好习惯。这些都是为了代码的可读性。

第二步，梳理功能的实现过程(就是前文的调试过程)

拿一个具体的输入，比如成对比较矩阵

，分析怎么到达想要的那

个返回值结果的。

复杂的功能，就需要更耐心的梳理和思考甚至借助一些算法，当然也离不开代码片段的调试。

注：把一个具体的输入，调试通过，得到正确的返回值结果，这一步骤很有必要。

第三步，将第二步的代码封装到函数体(选精确计算的)

function[W, Lmax, CI, CR] =AHP(A)% 实现单层次结构的层次分析法

% 输入: A为成对比较矩阵

% 输出: W为权重向量, Lmax为最大特征值, CI为一致性指标, CR为一致性比率

[V,D] = eig(A);

[Lmax,ind] = max(diag(D)); % 求最大特征值及其位置

W = V(:,ind) / sum(V(:,ind)); % 最大特征值对应的特征向量做标准化

Lmax = mean((A * W) ./ W); % 计算最大特征值

n = size(A, 1); % 矩阵行数

CI = (Lmax - n) / (n - 1); % 计算一致性指标

% Saaty随机一致性指标值

RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];

CR = CI / RI(n); % 计算一致性比率

发现没有？就是前面梳理过程的代码原样复制过来的！原来的变量赋值语句不需要了，只需要形参。另外，为行尾没有分号的行添加了分号，函数不需要输出中间结果。

3. 调用自定义函数

Matlab自定义函数保存为与函数名同名的.m文件，这里是 AHP.m

确保该 AHP.m 文件在当前路径下，即确保该文件在Matlab界面左侧的“当前文件夹”窗口能看到它。那么就可以使用该函数。

以前文的矩阵

为例，测试该自定义的 AHP 函数：

A = [ 1 1/2 4 3 3;

2 1 7 5 5;

1/4 1/7 1 1/2 1/3;

1/3 1/5 2 1 1;

1/3 1/5 3 1 1];

[W, Lmax, CI, CR] = AHP(A)

运行结果：

有了该函数，就是有了可以实现层次分析法的“模具”，该“模具”只要提供成对比较矩阵给它，它就能给你返回：权重向量、最大特征值、一致性指标、一致性比率。

2. 回到问题，那5个层次结构的计算就简单了：

B1 = [ 1 2 5;

1/2 1 2;

1/5 1/2 1];

B2 = [1 1/3 1/8;

3 1 1/3;

8 3 1];

B3 = [ 1 1 3;

1 1 3;

1/3 1/3 1];

B4 = [ 1 3 4;

1/3 1 1;

1/4 1 1];

B5 = [1 1 1/4;

1 1 1/4;

4 4 1 ];

[W1, Lmax1, CI1, CR1] = AHP(B1);

[W2, Lmax2, CI2, CR2] = AHP(B2);

[W3, Lmax3, CI3, CR3] = AHP(B3);

[W4, Lmax4, CI4, CR4] = AHP(B4);

[W5, Lmax5, CI5, CR5] = AHP(B5);

返回结果太长了，加分号不让它直接输出，而是整理到一起再输出：

% 合并结果

rlts3 =[W1 W2 W3 W4 W5; Lmax1 Lmax2 Lmax3 Lmax4 Lmax5;

CI1 CI2 CI3 CI4 CI5; CR1 CR2 CR3 CR4 CR5]

这与么老师的课程里的结果是一致的(我这个更精确哦)：

再来计算组合权向量：

a3 = rlts3(1:3,:) * W

这说明 3 个景点的权重分别是：0.2993，0.2453，0.4554

所以，这个某人应该选择的是去第3个景点去旅游。

最后注：这篇文章足够简单了吧，看完再不会用就该从自己身上找原因了。

主要参考文献：

么焕民，数学建模(层次分析法)，智慧树平台在线课程。

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