数学建模算法（一）

层次分析法 The analytic hierarchy process(AHP)

【清风数学建模课程笔记】

文章目录

数学建模算法（一）
- 层次分析法 The analytic hierarchy process(AHP)
- - 解决评价类问题的一般步骤：
  - 层次分析法的过程：
  - 一致性检验的步骤：
  - 计算权重？
  - - 一致矩阵：归一化处理（一致矩阵权重就是特征向量）
    - 判断矩阵
  - 将计算所得的权重填入权重表中并计算得分
  - 层次分析法具体讲解
  - 层次分析法的局限性
  - 模型拓展
  - Matlab代码详解

主要用于解决评价类问题，确定一些评价指标，并为每个指标定权重（和为1）

**（同颜色的单元格和为1）**

解决评价类问题的一般步骤：

评价的目标（题目提取）
可选方案有哪些
评价的准则/指标（根据背景材料、常识以及网上搜集到的一些文献、论文）

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层次分析法的过程：

两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重
判断矩阵是一个正互反矩阵，根据判断矩阵去推算指标的权重
填写其它的判断矩阵，并计算权重
不一致的情况
一致矩阵：各行/各列之间成倍数关系，说明一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

aij×ajk=aika_{ij} \times a_{jk} =a_{ik} aij×ajk=aik

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验（检验我们构造的判断矩阵与一致矩阵是否有太大的差别）复习特征值和特征向量
- 矩阵A为一致矩阵的充要条件为
  - aij>0;a11=a22=...=ann=1;[ai1,ai2,ai3,...,ain]=k[al1,al2,al3,...,aln]a_{ij}>0\ ;\\ a_{11}=a_{22}=...=a_{nn}=1\ ;\\ [a_{i1},a_{i2},a_{i3},...,a_{in}] = k[a_{l1},a_{l2},a_{l3},...,a_{ln}] aij>0 ;a11=a22=...=ann=1 ;[ai1,ai2,ai3,...,ain]=k[al1,al2,al3,...,aln]
- 引理：A为n阶方阵，且r(A) = 1，则A有一个特征值为tr(A)=n，其余特征值均为0
- 另外，我们很容易得到，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为（这个可以自己算出来，就是齐次线性方程组的基础解系）
  k[1a11,1a12,...,1a1n](k≠0)=k[a11,a21,...,an1](k≠0)k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},...,\frac{1}{a_{1n}}](k \neq 0)=k[a_{11},a_{21},...,a_{n1}](k \neq 0) k[a111,a121,...,a1n1](k=0)=k[a11,a21,...,an1](k=0)
- 引理：当n阶正互反矩阵非一致时，最大特征值一定满足：
  λmax>n\lambda_{max} > n λmax>n
  且判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大，如下图。

一致性检验的步骤：

计算一致性指标CI
CI=λmax−nn−1CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n−1λmax−n

查找对应的平均随机一致性指标RI（这个东西用到了随机抽样、蒙特卡罗模拟等等，比较复杂，有兴趣自己查资料）

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

注：实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系

计算一致性比例CR
CI=CIRICI=\frac{CI}{RI} CI=RICI
注：如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正

计算权重？

一致矩阵：归一化处理（一致矩阵权重就是特征向量）

判断矩阵

方法一：算数平均法

按照列归一化：用每一列的数据计算权重，得到n组权重数据
将归一化的各列相加（按行求和）
将相加后得到的向量中每个元素除以n：算数平均法求权重

方法二：几何平均法

将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
将新的向量的每个分量开n次方
对该向量进行归一化可以得到权重向量

方法三：特征值法求权重（一般用这个）

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。（一致矩阵权重就是特征向量）

求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

将计算所得的权重填入权重表中并计算得分

用Excel，可以按F4锁定单元格

层次分析法具体讲解

分析系统中各因素的关系，建立系统的递阶层次结构（要把层次结构图放在论文里面，目标层-准则层-方案层，可以用smartart但是很丑，用visio吧，或者亿图/draw.io）
构造判断矩阵（就直接给……不要说自己是哪里来的）

例如：准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且你收集到了这些小区车流量的数据（搜集资料），那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。
由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。为了保证模型的稳健性，可以用三种方法算然后打平均。

注意：
- 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；
- 在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。
- CR>0.1时如何修正？直接往各行各列成比例的方向上调
- 加上一段话：以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

层次分析法的局限性

评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异
可能会很大。
如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得
评价的更加准确呢？（有了数据之后再自己填的话就不客观了）

模型拓展

Matlab代码详解

知识点：

Matlab基本的小常识
分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input
sum函数
Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
size函数
repmat函数
Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)
Matlab中求特征值和特征向量
find函数的基本用法
矩阵与常数的大小判断运算
判断和循环语句

注意以下几点：

在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。但在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

输入判断矩阵

注意：判断矩阵的每个元素都是1~9或者它们的倒数

clear;clc
A =[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

使用算术平均法求权重

% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) ./ n)

其它替代语句

% 将列和重复5行的其它方法：SUM_A = [];for i = 1:n   %这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次SUM_A = [SUM_A; Sum_A]end

使用几何平均法求权重

% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

使用特征值法求权重

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)
%V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D))
%max(D)是求出每列的最大值，输出一个1行n列的矩阵
%可以直接写成max(D(:))[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% D == Max_eig返回的是一个逻辑矩阵，此语句找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。% 第二步：对求出的特征向量V(:,c)进行归一化即可得到我们的权重
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

一致性检验

clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
%注意，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
elsedisp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

写在最后：

如何修改代码避免查重的方法

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