正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF585E

题目大意

给出一个大小为nnn的可重集TTT，求有多少个它的非空子集SSS和元素xxx满足
x∉S,gcd{S}>1,gcd(S,x)=1x\notin S,gcd\{S\}>1,gcd(S,x)=1x∈/S,gcd{S}>1,gcd(S,x)=1

1≤n≤5×1051\leq n\leq 5\times 10^51≤n≤5×105，值域范围是[2,107][2,10^7][2,107]

解题思路

x∉Sx\notin Sx∈/S这个条件是没有用的，可以去掉

然后设fif_ifi表示与iii互质的数的个数，sis_isi表示gcdgcdgcd为iii的集合个数，那么答案就是∑fisi\sum f_is_i∑fisi

然后设cic_ici表示iii的个数
fi=∑d∣inμ(d)∑d∣jcjf_i=\sum_{d|i}^n\mu(d)\sum_{d|j}c_jfi=d∣i∑nμ(d)d∣j∑cj
然后可以处理出一个gd=∑d∣jcjg_d=\sum_{d|j}c_jgd=∑d∣jcj就可以了。

然后考虑sis_isi怎么处理
si=2ci−1−∑i∣d(2cd−1)s_i=2^{c_i}-1-\sum_{i|d}(2^{c_d}-1)si=2ci−1−i∣d∑(2cd−1)
就好了。

然后这些都可以用狄利克雷前缀/后缀和O(nlog⁡log⁡n)O(n\log \log n)O(nloglogn)求

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+1,P=1e9+7;
int n,cnt,pri[N],mu[N],f[N],s[N],pw[N],ans;
bool v[N];
int main()
{mu[1]=1;for(int i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);f[x]++;;}pw[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;for(int j=1;j<=cnt;j++)for(int i=N/pri[j];i>=1;i--)f[i]+=f[i*pri[j]];for(int i=1;i<N;i++)s[i]=pw[f[i]]-1;for(int i=1;i<N;i++)f[i]=f[i]*mu[i];for(int j=cnt;j>=1;j--)for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)f[i*pri[j]]+=f[i];for(int j=cnt;j>=1;j--)for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)(s[i]-=s[i*pri[j]])%=P;for(int i=2;i<N;i++)(ans+=1ll*f[i]*s[i]%P)%=P;printf("%d\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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