如何给柱状图柱子添加阴影_【LeetCode日记】84. 柱状图中最大的矩形
题目描述
` 给定 n 个非负整数,用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻,且宽度为 1 。
求在该柱状图中,能够勾勒出来的矩形的最大面积。
以上是柱状图的示例,其中每个柱子的宽度为 1,给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。
图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积,其面积为 10 个单位。
示例:
输入:[2,1,5,6,2,3] 输出:10
暴力枚举 - 左右端点法(TLE)
思路
我们暴力尝试所有可能的矩形
。由于矩阵是二维图形, 我我们可以使用左右两个端点来唯一确认一个矩阵
。因此我们使用双层循环枚举所有的可能性即可。而矩形的面积等于(右端点坐标 - 左端点坐标 + 1) * 最小的高度
,最小的高度我们可以在遍历的时候顺便求出。
代码
class Solution:def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int: n, ans = len(heights), 0if n != 0: ans = heights[0]for i in range(n): height = heights[i]for j in range(i, n): height = min(height, heights[j]) ans = max(ans, (j - i + 1) * height)return ans
复杂度分析
- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
暴力枚举 - 中心扩展法(TLE)
思路
我们仍然暴力尝试所有可能的矩形
。只不过我们这一次从中心向两边进行扩展。对于每一个 i,我们计算出其左边第一个高度小于它的索引 p,同样地,计算出右边第一个高度小于它的索引 q。那么以 i 为最低点能够构成的面积就是(q - p - 1) * heights[i]
。这种算法毫无疑问也是正确的。我们证明一下,假设 f(i) 表示求以 i 为最低点的情况下,所能形成的最大矩阵面积。那么原问题转化为max(f(0), f(1), f(2), ..., f(n - 1))
。
具体算法如下:
- 我们使用 l 和 r 数组。l[i] 表示 左边第一个高度小于它的索引,r[i] 表示 右边第一个高度小于它的索引。
- 我们从前往后求出 l,再从后往前计算出 r。
- 再次遍历求出所有的可能面积,并取出最大的。
代码
class Solution:def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int: n = len(heights) l, r, ans = [-1] * n, [n] * n, 0for i in range(1, n): j = i - 1while j >= 0 and heights[j] >= heights[i]: j -= 1 l[i] = jfor i in range(n - 2, -1, -1): j = i + 1while j < n and heights[j] >= heights[i]: j += 1 r[i] = jfor i in range(n): ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - 1))return ans
复杂度分析
- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
优化中心扩展法(Accepted)
思路
实际上我们内层循环没必要一步一步移动,我们可以直接将j -= 1
改成 j = l[j]
, j += 1
改成 j = r[j]
。
代码
class Solution:def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int: n = len(heights) l, r, ans = [-1] * n, [n] * n, 0
for i in range(1, n): j = i - 1while j >= 0 and heights[j] >= heights[i]: j = l[j] l[i] = jfor i in range(n - 2, -1, -1): j = i + 1while j < n and heights[j] >= heights[i]: j = r[j] r[i] = jfor i in range(n): ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - 1))return ans
复杂度分析
- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
单调栈(Accepted)
思路
实际上,读完第二种方法的时候,你应该注意到了。我们的核心是求左边第一个比 i 小的和右边第一个比 i 小的。如果你熟悉单调栈的话,那么应该会想到这是非常适合使用单调栈来处理的场景。
为了简单起见,我在 heights 首尾添加了两个哨兵元素,这样可以减少边界处理的额外代码。
代码
class Solution:def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int: n, heights, st, ans = len(heights), [0] + heights + [0], [], 0for i in range(n + 2):while st and heights[st[-1]] > heights[i]: ans = max(ans, heights[st.pop(-1)] * (i - st[-1] - 1)) st.append(i)return ans
复杂度分析
- 时间复杂度:
- 空间复杂度:
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