（每日一题）P3312 [SDOI2014]数表（经典莫比乌斯反演 + 树状数组维护离线询问）

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每日一题（莫反 / 多项式 / 母函数 / 群论） 2021.4.11 莫反

P3312 [SDOI2014]数表（经典莫比乌斯反演 + 树状数组维护离线询问）

Problem

1≤n,m≤105,1≤Q≤2×1041≤n,m≤10 ^5 ,1\le Q\le 2\times 10^41≤n,m≤105,1≤Q≤2×104

Solution

Code

注意mu函数可能是负的，所以一定要记得 + mod % mod。

// Problem: P3312 [SDOI2014]数表
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3312
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1500 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 7, R = 2e5, M = 2e4 + 7, mod = 1ll << 31;int n, m;
int sigma[N], g[N], mu[N];
int primes[N], cnt;
bool vis[N];
int ans[N];
int tr[N];struct question
{int n, m, a, id;bool operator < (const question &t) const {return a < t.a;}
} que[M];struct number
{int x;bool operator < (const number &t) const {return sigma[x] < sigma[t.x];}
} a[N];inline int lowbit(int x)
{return x & (- x);
}void add_tr(int x, int val)
{for(; x <= R; x += x & (- x)) {(tr[x] += val) %= mod;}
}int query_tr(int x)
{int res = 0;for(; x >= 1; x &= x - 1) {(res += tr[x]) %= mod;}return res;
}void insert_tr(int x)
{for(int k = 1; x * k <= R; ++ k) {add_tr(x * k, (mu[k] * sigma[x] + mod) % mod);}
}void init(int n)
{sigma[1] = g[1] = mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) {primes[ ++ cnt] = i;sigma[i] = g[i] = i + 1;mu[i] = -1;}for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0) {mu[i * primes[j]] = 0;g[i * primes[j]] = g[i] * primes[j] + 1;sigma[i * primes[j]] = sigma[i] / g[i] * g[i * primes[j]];break;}mu[i * primes[j]] -= mu[i];g[i * primes[j]] = primes[j] + 1;sigma[i * primes[j]] = sigma[i] * sigma[primes[j]];}}for(int i = 1; i <= n; ++ i)a[i].x = i;sort(a + 1, a + 1 + n);
}int query(int n, int m)
{int res = 0, last = 0, now;for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1, last = now) {r = min(n / (n / l), m / (m / l));now = query_tr(r);//这次的 r 就是下次的 l(res += ((now - last + mod) % mod * (n / l) % mod * (m / l) % mod) % mod) %= mod;}return res;
}signed main()
{init(N - 7);int Q;scanf("%lld", &Q);for(int i = 1, a; i <= Q; ++ i) {scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &a);if(n > m) swap(n, m);que[i] = {n, m, a, i};}sort(que + 1, que + 1 + Q);int j = 1;for(int i = 1; i <= Q; ++ i) {for(; j <= R && sigma[a[j].x] <= que[i].a; ++ j) insert_tr(a[j].x);ans[que[i].id] = query(que[i].n, que[i].m);}for(int i = 1; i <= Q; ++ i) {printf("%lld\n", ans[i]);}return 0;
}

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