Fourier变换、Laplace变换与广义函数总结
文章目录
- 写在前面
- 一些定义、性质引入
- 三角函数系的正交性
- 定理
- 证明思路
- 傅里叶级数(针对有限区间)
- 推广至有限区间(常用)
- 推广为正弦级数或余弦级数
- 傅里叶积分公式(针对无限区间)
- 定理
- 证明思路
- 傅里叶变换
- 卷积
- 傅里叶(Fourier)变换及其逆变换
- 定义式
- 常用性质
- 广义函数δ(x)\delta(x)δ(x)
- 引入
- 对偶积
- 性质
- 拉普拉斯(Laplace)变换及其逆变换
- 定义式
- 常用性质
- 例题分析
写在前面
总结一下傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些常用性质和简单应用，以及广义函数的一些性质与应用，方便复习。本文主要参考姜礼尚老师所著的《数学物理方程讲义（第三版）》及王元明老师所著的《数学物理方程与特殊函数（第四版）》。
一些定义、性质引入
三角函数系的正交性
- 三角函数系(三角函数列)：
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯}\{1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin2x,\ \cdots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \cdots\} {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ⋯, cosnx, sinnx, ⋯}
其中所有函数具有共同的周期2π2\pi2π.
- 正交性质：在三角函数系中任何两个不相同的函数的乘积在[−π,π][-\pi,\ \pi][−π, π]上的积分都为0，而其中任何一个函数的平方在[−π,π][-\pi,\ \pi][−π, π]上的积分都不为0.
定理
若对∀x∈R\forall x\in \mathbb{R}∀x∈R，有
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx),(1)f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx),\tag{1} f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx),(1)
且上式右端级数一致收敛，则有：
an=1π∫−ππf(x)cosnxdx,n=0,1,2,⋯,bn=1π∫−ππf(x)sinnxdx,n=1,2,3,⋯.(2)\begin{aligned} a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \mathrm{d}x,\quad n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \mathrm{d}x,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots.\\ \end{aligned}\tag{2} anbn=π1∫−ππf(x)cosnxdx,n=0, 1, 2, ⋯,=π1∫−ππf(x)sinnxdx,n=1, 2, 3, ⋯.(2)
证明思路
根据收敛性假设和(1)(1)(1)的一致收敛性，可以对(1)(1)(1)两边对xxx从−π-\pi−π到π\piπ积分，右端得到只含有a0a_0a0的项(由于正交性质); 再对(1)(1)(1)两端同乘以cosnx\cos nxcosnx并积分，得到ana_nan表达式; 对(1)(1)(1)两端同乘以sinnx\sin nxsinnx并积分，得到bnb_nbn表达式。
傅里叶级数(针对有限区间)
由(2)(2)(2)式所确定的系数an,bna_n,\ b_nan, bn称为f(x)f(x)f(x)的傅里叶系数，将傅里叶系数代入(1)(1)(1)右端的三角级数，即得到傅里叶级数，记作
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx).(3)f(x) \ \sim\ \frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx).\tag{3} f(x) ∼ 2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx).(3)
推广至有限区间(常用)
作变量替换t=πlxt=\frac\pi lxt=lπx，并令g(t)=f(lπt)g(t)=f(\frac l\pi t)g(t)=f(πlt)，设其傅里叶级数为
g(t)∼a02+∑n=1∞(ancosnt+bnsinnt),g(t) \ \sim\ \frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos nt+b_n\sin nt), g(t) ∼ 2a0+n=1∑∞(ancosnt+bnsinnt),
其中
an=1π∫−ππg(t)cosntdt=1l∫−llf(x)cosnπlxdx,n=0,1,2,⋯,bn=1π∫−ππg(t)sinntdt=1l∫−llf(x)sinnπlxdx,n=1,2,3,⋯,\begin{aligned} a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi g(t)\cos nt \mathrm{d}t=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi}lx\mathrm{d}x,\quad n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi g(t)\sin nt \mathrm{d}t=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi}lx\mathrm{d}x,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\\ \end{aligned} anbn=π1∫−ππg(t)cosntdt=l1∫−llf(x)coslnπxdx,n=0, 1, 2, ⋯,=π1∫−ππg(t)sinntdt=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,n=1, 2, 3, ⋯,
还原自变量为xxx，得到
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnπlx+bnsinnπlx),(4)f(x)\ \sim\ \frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x),\tag{4} f(x) ∼ 2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx),(4)
其中
an=1l∫−llf(x)cosnπlxdx,n=0,1,2,⋯,bn=1l∫−llf(x)sinnπlxdx,n=1,2,3,⋯.(5)\begin{aligned} a_n&=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi}lx\mathrm{d}x,\quad n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\\ b_n&=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi}lx\mathrm{d}x,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots.\\ \end{aligned}\tag{5} anbn=l1∫−llf(x)coslnπxdx,n=0, 1, 2, ⋯,=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,n=1, 2, 3, ⋯.(5)
推广为正弦级数或余弦级数
采用奇延拓(正弦级数)或偶延拓(余弦级数)的方法即得，不再赘述。
傅里叶积分公式(针对无限区间)
定理
设函数f(x)f(x)f(x)是定义在(−∞,+∞)(-\infty,\ +\infty)(−∞, +∞)内的实函数，其在任一有限区间[−l,l][-l,\ l][−l, l]上分段光滑(一阶导数存在且导函数只有第一类间断点)，且在(−∞,+∞)(-\infty,\ +\infty)(−∞, +∞)上绝对可积，即∫−∞+∞∣f(t)∣dt\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm{d}t∫−∞+∞∣f(t)∣dt收敛，则有
f(x)=1π∫0+∞dω∫−∞+∞f(t)cosω(x−t)dt,−∞<x<+∞,(6)f(x)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos\omega(x-t)\mathrm{d}t,\quad -\infty<x<+\infty,\tag{6} f(x)=π1∫0+∞dω∫−∞+∞f(t)cosω(x−t)dt,−∞<x<+∞,(6)
上式称为函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶积分公式。
对(6)(6)(6)式右端展开，可得
f(x)=∫0+∞[a(ω)cosωx+b(ω)sinωx]dω,(7)f(x)=\int_{0}^{+\infty}\left[a(\omega)\cos \omega x+b(\omega)\sin \omega x\right]\mathrm{d}\omega,\tag{7} f(x)=∫0+∞[a(ω)cosωx+b(ω)sinωx]dω,(7)
其中
a(ω)=1π∫−∞+∞f(t)cosωtdt,b(ω)=1π∫−∞+∞f(t)sinωtdt.(8)\begin{aligned}a(\omega)&=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos \omega t\ \mathrm{d}t,\\b(\omega)&=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin \omega t\ \mathrm{d}t.\end{aligned}\tag{8} a(ω)b(ω)=π1∫−∞+∞f(t)cosωt dt,=π1∫−∞+∞f(t)sinωt dt.(8)
证明思路
直接对有限区间[−l,l][-l,\ l][−l, l]推广式的积分上下限取极限，针对离散点取极限即得。
傅里叶变换
利用Euler公式
eω(x−t)i=cosω(x−t)+isinω(x−t),\mathrm{e}^{\omega(x-t)\mathrm{i}}=\cos \omega(x-t)+\mathrm{i}\sin\omega(x-t), eω(x−t)i=cosω(x−t)+isinω(x−t),
将(6)(6)(6)写成复数形式，并利用积分中值定理及奇函数的性质(对称区间积分为0)，得到
f(x)=12π∫−∞+∞eiωxdω∫−∞+∞f(t)e−iωtdt,(9)f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t \tag{9}, f(x)=2π1∫−∞+∞eiωxdω∫−∞+∞f(t)e−iωtdt,(9)
在上式中，令
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt,(10)F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t,\tag{10} F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt,(10)
上式即为傅里叶变换公式, 并由此得到傅里叶逆变换式
f(x)=12π∫−∞+∞F(ω)eiωxdω,(11)f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega, \tag{11} f(x)=2π1∫−∞+∞F(ω)eiωxdω,(11)
称F(ω)F(\omega)F(ω)是f(x)f(x)f(x)的傅里叶变换(或称为f(x)f(x)f(x)的象函数)，记为
F(ω)=F[f(x)],F(\omega)=\mathscr{F}[f(x)], F(ω)=F[f(x)],
并称(11)(11)(11)为F(ω)F(\omega)F(ω)的傅里叶逆变换(或称f(x)f(x)f(x)为F(ω)F(\omega)F(ω)的象原函数)，记为
f(x)=F−1[F(ω)].f(x)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]. f(x)=F−1[F(ω)].
卷积
若f(x),g(x)∈L(−∞,+∞)f(x),\ g(x)\in L(-\infty,\ +\infty)f(x), g(x)∈L(−∞, +∞)，则
f∗g(x)=∫−∞+∞f(x−t)g(t)dt∈L(−∞,+∞).f\ast g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t)\mathrm{d}t\in L(-\infty,\ +\infty). f∗g(x)=∫−∞+∞f(x−t)g(t)dt∈L(−∞, +∞).
傅里叶(Fourier)变换及其逆变换
傅里叶变换，由法国著名数学家Fourier针对温度分布问题提出，之后在信号处理等领域也有着重要的作用。
定义式
上面已经进行了推导，在此直接列出
F(ω)=∫−∞+∞f(x)e−iωxdx,f(x)=12π∫−∞+∞F(ω)eiωxdω.\begin{aligned} F(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x,\\\\ f(x)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{aligned} F(ω)f(x)=∫−∞+∞f(x)e−iωxdx,=2π1∫−∞+∞F(ω)eiωxdω.
函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶变换也可记为f^\hat{f}f^. 相应地，其逆变换记为(f^)∨(\hat{f})^{\vee}(f^)∨，显然有(f^)∨=f(\hat{f})^{\lor}=f(f^)∨=f.
常用性质
下述各函数均假定在L(−∞,∞)L(-\infty,\ \infty)L(−∞, ∞)区间内，即Lebesgue可积。
- 线性性质: 若ai∈C(i=1,2)a_i\in \mathbb{C}\,(i=1,\ 2)ai∈C(i=1, 2)，有(a1f1+a2f2)∧=a1f1^+a2f2^(a_1f_1+a_2f_2)^\wedge=a_1\hat{f_1}+a_2\hat{f_2}(a1f1+a2f2)∧=a1f1^+a2f2^;
- ★\bigstar★微商性质: (dfdx)∧=iωf^\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)^{\land}=\mathrm{i}\omega\hat{f}(dxdf)∧=iωf^, 更一般地，有(dmfdxm)∧=(iω)mf^(ω),m⩾1\left(\frac{\mathrm{d^m}f}{\mathrm{d}x^m}\right)^{\land}=(\mathrm{i}\omega)^m\hat{f}(\omega), \ m\geqslant1(dxmdmf)∧=(iω)mf^(ω), m⩾1;
- ★\bigstar★乘多项式: (xf(x))∧=iddλf^(λ)(xf(x))^\land=\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\hat{f}(\lambda)(xf(x))∧=idλdf^(λ), 更一般地，有(xmf(x))∧=imdmdωmf^(ω),m⩾1(x^mf(x))^\land=\mathrm{i}^m\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}\omega^m}\hat{f}(\omega),\ m\geqslant1(xmf(x))∧=imdωmdmf^(ω), m⩾1;
- 积分性质: [∫−∞tf(τ)dτ]∧=f^(iω)iω+πf^(0)δ(ω)\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]^\land=\frac{\hat{f}(\mathrm{i}\omega)}{\mathrm{i}\omega}+\pi\hat{f}(0)\delta(\omega)[∫−∞tf(τ)dτ]∧=iωf^(iω)+πf^(0)δ(ω);
- ★\bigstar★卷积性质: (f∗g)∧=f^⋅g^(f\ast g)^\land=\hat{f}\cdot \hat{g}(f∗g)∧=f^⋅g^, 或f∗g=(f^⋅g^)∨f\ast g=(\hat{f}\cdot\hat{g})^{\lor}f∗g=(f^⋅g^)∨;
- 平移性质: [f(x−a)]∧(ω)=e−iωaf^(ω)[f(x-a)]^\land(\omega)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega a}\hat{f}(\omega)[f(x−a)]∧(ω)=e−iωaf^(ω);
- 伸缩性质: [f(kx)]∧(ω)=1∣k∣f^(ωk),k≠0[f(kx)]\wedge(\omega)=\frac1{|k|}\hat{f}\left(\frac\omega k\right),\ k\neq0[f(kx)]∧(ω)=∣k∣1f^(kω), k=0;
- 对称性质: [f(x)]∨(ω)=f^(−ω)=[f(−x)]∧(ω)[f(x)]\lor(\omega)=\hat{f}(-\omega)=[f(-x)]^{\land}(\omega)[f(x)]∨(ω)=f^(−ω)=[f(−x)]∧(ω).
广义函数δ(x)\delta(x)δ(x)
引入
Dirac函数，即δ\deltaδ函数是最常用的广义函数，用于描述集中分布的量，并具有如下性质
δ(x)={0,当x≠0时,∞,当x=0时,\delta(x)=\begin{cases}0,&\text{当}x\neq0\text{时},\\\infty,&\text{当}x=0\text{时},\end{cases} δ(x)={0,∞,当x=0时,当x=0时,
∫−∞+∞δ(x)dx=1.\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,\mathrm{d}x=1. ∫−∞+∞δ(x)dx=1.
对偶积
设φ∈D(R)\varphi\in\mathscr{D}(\mathbb{R})φ∈D(R)是一个试验函数，用⟨f,φ⟩\lang f,\ \varphi\rang⟨f, φ⟩表示它所对应的数值，称为对偶积。对偶积满足线性性和连续性，并且
⟨f,φ⟩=∫−∞+∞f(x)φ(x)dx,\lang f,\ \varphi\rang=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x, ⟨f, φ⟩=∫−∞+∞f(x)φ(x)dx,
性质
- ⟨δ,φ⟩=∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0),∀φ∈D(R)\lang \delta,\ \varphi\rang=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=\varphi(0),\quad \forall\varphi\in\mathscr{D}(\mathbb{R})⟨δ, φ⟩=∫−∞+∞δ(x)φ(x)dx=φ(0),∀φ∈D(R);
- 广义函数fff上的微商可转移到基本空间的试验函数上:
⟨f′,φ⟩=∫−∞+∞f′(x)φ(x)dx=−∫−∞+∞f(x)φ′(x)dx=−⟨f,φ′⟩,\lang f^\prime,\ \varphi\rang=\int_{-\infty}^{+\infty}f^\prime(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi^\prime(x)\,\mathrm{d}x=-\lang f,\ \varphi^\prime\rang, ⟨f′, φ⟩=∫−∞+∞f′(x)φ(x)dx=−∫−∞+∞f(x)φ′(x)dx=−⟨f, φ′⟩,
- 广义函数fff的kkk阶微商f(k)f^{(k)}f(k):
⟨f(k),φ⟩=(−1)k⟨f,φ(k)⟩,\lang f^{(k)},\ \varphi\rang=(-1)^k\lang f,\ \varphi^{(k)}\rang, ⟨f(k), φ⟩=(−1)k⟨f, φ(k)⟩,
- δ\deltaδ函数的广义微商:
⟨δ′,φ⟩=−⟨δ,φ′⟩=−φ′(0),\lang \delta^\prime,\ \varphi\rang=-\lang \delta,\ \varphi^\prime\rang=-\varphi^\prime(0), ⟨δ′, φ⟩=−⟨δ, φ′⟩=−φ′(0),
- δ\deltaδ函数的kkk阶广义微商:
⟨δ(k),φ⟩=(−1)k⟨δ,φ(k)⟩=(−1)kφ(k)(0),\lang \delta^{(k)},\ \varphi\rang=(-1)^k\lang \delta,\ \varphi^{(k)}\rang=(-1)^k\varphi^{(k)}(0), ⟨δ(k), φ⟩=(−1)k⟨δ, φ(k)⟩=(−1)kφ(k)(0),
- Heaviside函数H(x)={1,x⩾00,x<0H(x)=\begin{cases}1,&x\geqslant0\\0,&x<0\end{cases}H(x)={1,0,x⩾0x<0的广义微商H(x)H(x)H(x)是δ\deltaδ函数;
- 平移性质: ⟨f(x−ξ),φ⟩=⟨f,φ(x+ξ)⟩\lang f(x-\xi),\ \varphi\rang=\lang f,\ \varphi(x+\xi)\rang⟨f(x−ξ), φ⟩=⟨f, φ(x+ξ)⟩;
- 二元δ\deltaδ函数及其平移: ⟨δ,φ⟩=φ(0,0),⟨δ(x−ξ,y−η)=φ(ξ,η)\lang\delta,\ \varphi\rang=\varphi(0,\ 0),\quad\lang\delta(x-\xi,\ y-\eta)=\varphi(\xi,\ \eta)⟨δ, φ⟩=φ(0, 0),⟨δ(x−ξ, y−η)=φ(ξ, η);
- δ\deltaδ函数的张量积(或直积): δ(x−ξ,y−η)=δ(x−ξ)⊕δ(y−η)\delta(x-\xi,\ y-\eta)=\delta(x-\xi)\oplus\delta(y-\eta)δ(x−ξ, y−η)=δ(x−ξ)⊕δ(y−η), 分别固定xxx和yyy即可验证等式成立.
拉普拉斯(Laplace)变换及其逆变换
傅里叶变换只能对整个数轴作用，实际操作时会有仅定义在[0,+∞][0,\ +\infty][0, +∞]上的函数，此时引入拉普拉斯变换。
定义式
设函数f(t)f(t)f(t)在[0,+∞][0,\ +\infty][0, +∞]内有定义，且下述积分在p∈Cp\in \mathbb{C}p∈C在某个区域内收敛，则该积分在此区域内确定了一个以ppp为变量的函数，此函数F(p)F(p)F(p)为f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换，记为F(p)=L[f(t)]F(p)=\mathscr{L}[f(t)]F(p)=L[f(t)]，其逆变换记为f(t)=L−1[F(p)]f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(p)]f(t)=L−1[F(p)].
F(p)=∫0+∞f(t)e−ptdtF(p)=\int_{0}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-pt}\mathrm{d}t F(p)=∫0+∞f(t)e−ptdt
对于逆变换，要用到复变函数中的留数定理，即
(这里没法自定义算符，以代码&图片形式展示)
\DeclareMathOperator*{\res}{Res}
f(t)=\sum_{k}\res\limits_{p=p_k}\left[F(p)\mathrm{e}^{pt}\right]
其中pkp_kpk是F(p)F(p)F(p)的奇点(落在半平面ℜ(p)⩽β\Re(p)\leqslant\betaℜ(p)⩽β内)。
常用性质
- ★\bigstar★微分性质: L[f′(t)]=pL[f(t)]−f(0),ℜ(p)>c\mathscr{L}[f^\prime(t)]=p\mathscr{L}[f(t)]-f(0),\ \Re(p)>cL[f′(t)]=pL[f(t)]−f(0), ℜ(p)>c, 更一般地，有
L[f(n)(t)]=pnF(p)−pn−1f(0)−pn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0),\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f^\prime(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0), L[f(n)(t)]=pnF(p)−pn−1f(0)−pn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0),
其中F(p)=L[f(t)]F(p)=\mathscr{L}[f(t)]F(p)=L[f(t)];
积分性质: L[∫0tf(t)dt]\mathscr{L}\left[\int_{0}^tf(t)\,\mathrm{d}t\right]L[∫0tf(t)dt];
★\bigstar★卷积性质: 与傅里叶变换的卷积性质类似，即L[f∗g]=L[f]⋅L[g]\mathscr{L}[f\ast g]=\mathscr{L}[f]\cdot\mathscr{L}[g]L[f∗g]=L[f]⋅L[g].
例题分析
利用拉普拉斯变换求积分
I=∫−∞+∞sinxxdx.I=\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x.I=∫−∞+∞xsinxdx.
考虑含参变量的积分
f(t)=∫−∞+∞sintxxdx,f(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin tx}{x}\mathrm{d}x,f(t)=∫−∞+∞xsintxdx,
对变量ttt作拉普拉斯变换，交换积分次序，并分部积分即可得到
L[f(t)]=∫0+∞(∫−∞+∞sintxxdx)e−ptdt=2∫0+∞(∫0+∞sintxxdx)e−ptdt=2∫0+∞1x(∫0+∞e−pt⋅sintxdt)dx=π⋅1p\begin{aligned} \mathscr{L}[f(t)] &=\int_{0}^{+\infty}\left(\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin tx}{x}\mathrm{d}x\,\right)\mathrm{e}^{-pt}\,\mathrm{d}t\\ &=2\int_{0}^{+\infty}\left(\int\nolimits_{0}^{+\infty}\frac{\sin tx}{x}\mathrm{d}x\,\right)\mathrm{e}^{-pt}\,\mathrm{d}t\\ &=2\int_{0}^{+\infty}\frac1x\left(\int\nolimits_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-pt}\cdot\sin tx\,\mathrm{d}t\,\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\pi\cdot\frac1p \end{aligned}L[f(t)]=∫0+∞(∫−∞+∞xsintxdx)e−ptdt=2∫0+∞(∫0+∞xsintxdx)e−ptdt=2∫0+∞x1(∫0+∞e−pt⋅sintxdt)dx=π⋅p1
再取拉普拉斯逆变换，可得到I=f(1)=π.I=f(1)=\pi.I=f(1)=π.
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