傅里叶变换的不完美之处

F ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t F(w)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(t) e^{-iwt} dt F(w)=∫−∞+∞f(t)e−iwtdt

狄利赫里条件的第三条，非常不容易满足
例如
x ( t ) = x 2 x(t)=x^2 x(t)=x2 当积分的时候，很容易大于 + ∞ +\infty +∞

Laplace变换

Laplace变换可以看做是傅里叶变换的升级版，在指数函数当中加入了快速衰减函数
e − σ x σ > 0 e^{-\sigma x} \quad \sigma > 0 e−σxσ>0
l i m x → + ∞ f ( x ) e − σ x = 0 σ > 0 lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) e^{-\sigma x} = 0 \quad \sigma > 0 limx→+∞f(x)e−σx=0σ>0
Laplace变换公式
F ( w ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − σ t e − i w t d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − ( σ + i w ) t d t F(w)=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-\sigma t} e ^{-iwt} dt = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-(\sigma + iw)t} dt F(w)=∫0+∞f(t)e−σte−iwtdt=∫0+∞f(t)e−(σ+iw)tdt
令 s = σ + i w s=\sigma+iw s=σ+iw
F ( w ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t F(w)= \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt F(w)=∫0+∞f(t)e−stdt

原视频：
https://www.bilibili.com/video/av44073817?p=6

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