文章目录

1. Laplace变换的概念
- 1.1 Laplace变换的引入
- 1.2 Laplace变换的定义
- - 1.2.1 常见的Laplace变换
2. Laplace变换的性质
- 2.1 线性性质与相似性质[1]
- 2.2 延迟性质与位移性质
- - 2.2.3 利用延迟性质求逆变换[2]
- 2.3 微分性质
- - 2.3.1 复合性质的Laplace变换[3]
- 2.4 积分性质
3. Laplace逆变换
4. Laplace变换的应用

1. Laplace变换的概念

1.1 Laplace变换的引入

Fourier变换的局限性
（1）需要满足绝对可积的条件
（2）积分范围为 ∫ − ∞ + ∞ \int_{-\infty}^{+\infty} ∫−∞+∞

改造想法
（1）函数乘上衰减函数 e − β t ( β > 0 ) e^{-\beta t}(\beta>0) e−βt(β>0)，使得函数在 t > 0 t>0 t>0的部分尽快衰减下来
（2）函数乘上单位阶跃函数u(t)，使函数在t<0部分补零

1.2 Laplace变换的定义

定义
设函数f(t)是 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)上的实值函数，如果对于 s = β + j w s=\beta+jw s=β+jw，积分 ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt ∫0+∞f(t)e−stdt在复平面某区域收敛，则：
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \mathscr{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st}dt F(s)=L[f(t)]=∫0+∞f(t)e−stdt

关系
f ( t ) f(t) f(t)的Laplace变换是函数 f ( t ) u ( t ) e − β t f(t)u(t)e^{-\beta t} f(t)u(t)e−βt的Fourier变换

存在性定理
设函数f(t)在t>0时：
（1）在任何有限区间上分段连续
（2）具有有限增长性

1.2.1 常见的Laplace变换

① L [ 1 ] = L [ u ( t ) ] = L [ s g n ( t ) ] = 1 s \mathscr{L}[1] = \mathscr{L}[u(t)] = \mathscr{L}[sgn(t)] = \frac{1}{s} L[1]=L[u(t)]=L[sgn(t)]=s1
② L [ δ ( t ) ] = 1 \mathscr{L}[\delta(t)] = 1 L[δ(t)]=1
③ L [ sin ⁡ ( a t ) ] = a s 2 + a 2 \mathscr{L}[\sin(at)]=\frac{a}{s^2+a^2} L[sin(at)]=s2+a2a
④ L [ cos ⁡ ( a t ) ] = s s 2 + a 2 \mathscr{L}[\cos(at)]=\frac{s}{s^2+a^2} L[cos(at)]=s2+a2s
⑤ L [ t m ] = m ! s m + 1 \mathscr{L}[t^m]=\frac{m!}{s^{m+1}} L[tm]=sm+1m!

2. Laplace变换的性质

2.1 线性性质与相似性质[1]

（1）线性性质
L [ a f ( t ) + b g ( t ) ] = a F ( s ) + b G ( s ) L − 1 [ a F ( s ) + b G ( s ) ] = a f ( t ) + b G ( t ) \mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s) \\ \mathscr{L}^{-1}[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bG(t) L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)L−1[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bG(t)

（2）相似性质
L [ f ( a t ) ] = 1 a F ( s a ) ( a > 0 ) \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) \\ (a>0) L[f(at)]=a1F(as)(a>0)

2.2 延迟性质与位移性质

（1）延迟性质
设当 t < 0 t<0 t<0时 f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0，则对于任一非负实数 τ \tau τ：
L [ f ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s ) L [ f ( t − τ ) u ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s ) \mathscr{L}[f(t-\tau)] = e^{-s\tau}F(s) \\ \mathscr{L}[f(t-\tau)u(t-\tau)] = e^{-s\tau}F(s) L[f(t−τ)]=e−sτF(s)L[f(t−τ)u(t−τ)]=e−sτF(s)
证明

2.2.3 利用延迟性质求逆变换[2]

利用延迟性质求逆变换时：
L ( − 1 ) [ e − s τ F ( s ) ] = f ( t − τ ) u ( t − τ ) \mathscr{L}^{(-1)}[e^{-s\tau}F(s) ] = f(t-\tau)u(t-\tau) L(−1)[e−sτF(s)]=f(t−τ)u(t−τ)
注意
① 延迟因子 e − s τ e^{-s\tau} e−sτ
② 逆变换得到的函数还包含u(t)

（2）位移性质
设a为任一复常数：
L [ e a t f ( t ) ] = F ( s − a ) \mathscr{L}[e^{at}f(t) ] = F(s-a) L[eatf(t)]=F(s−a)

注意
① 位移因子 e a t e^{at} eat

2.3 微分性质

① 导数的象函数
L [ f ( t ) ′ ] = s F ( s ) − f ( 0 ) L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ( 0 ) ′ ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) L [ f ( 3 ) ( t ) ] = s 3 F ( s ) − s 2 f ( 0 ) − s f ( 0 ) ′ − f ( 0 ) ′ ′ \mathscr{L}[f(t)' ] = sF(s)-f(0) \\ \mathscr{L}[f^{(n)}(t)] = s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f(0)'\cdots-f^{(n-1)}(0) \\ \mathscr{L}[f^{(3)}(t)] = s^3F(s)-s^2f(0)-sf(0)'-f(0)'' L[f(t)′]=sF(s)−f(0)L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f(0)′⋯−f(n−1)(0)L[f(3)(t)]=s3F(s)−s2f(0)−sf(0)′−f(0)′′
② 象函数的导数
F ′ ( s ) = − L [ t f ( t ) ] F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ] F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)] \\ F^{(n)}(s) = (-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)] F′(s)=−L[tf(t)]F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]
导数因子： t n f ( t ) t^nf(t) tnf(t)

2.3.1 复合性质的Laplace变换[3]

2.4 积分性质

① 积分的象函数
L [ ∫ 0 t f ( t ) ] = F ( s ) s L [ ∫ 0 t ⋯ ∫ 0 t f ( t ) ] = F ( s ) s n \mathscr{L}[\int_{0}^{t} f(t)] = \frac{F(s)}{s} \\ \mathscr{L}[\int_0^{t} \cdots \int_{0}^{t} f(t)] = \frac{F(s)}{s^n} L[∫0tf(t)]=sF(s)L[∫0t⋯∫0tf(t)]=snF(s)
② 象函数的积分
∫ 0 ∞ F ( s ) d s = L [ f ( t ) t ] ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ F ( s ) d s = L [ f ( t ) t n ] \int_0^{\infty} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}] \\ \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}] ∫0∞F(s)ds=L[tf(t)]∫0∞⋯∫0∞F(s)ds=L[tnf(t)]
积分因子 1 t f ( t ) \frac{1}{t}f(t) t1f(t)

3. Laplace逆变换

4. Laplace变换的应用

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