关系是一种特殊的集合。在学习离散数学的二元关系时需要从集合的观点去理解关系的基本概念、基本性质以及基本运算。在本章的学习中应当强化逻辑思维能力和发散思维的能力。首先明确基本的序偶的定义。生活中的次序关系也就是序偶的一种现实体现。两个元素x，y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对。由于序偶是有次序的，所以序偶的相等是对应位置上对应元素的相等。推广序偶的思想，是定义任意n个元素的有序序列，也可以叫做n重有序组。基本的序偶定义了，因而可以在集合的层面上定义集合之间的关系。序偶和集合联系在一起可以得到笛卡尔积的概念。集合A X B的元素是序偶，序偶中的第一元素取自A，第二元素取自B，同时集合A与B的笛卡尔积仍然是一个集合。笛卡尔积不满足交换律。涉及到笛卡尔积的证明题就有集合方面的证明。和第一章涉及到的集合的证明题类似。将题目过程分解，一般是先确定序偶第一元素所属的集合以及第二元素所属的集合，然后根据并运算以及交运算的定义确定逻辑语言上的从属关系，转化出等效表达，然后再根据定义转化回数学语言，最后完成证明。关键是利用笛卡尔积的定义确定从属集合情况。还有利用第二章的几个计数定理确定集合的数目以及必然存在性。

这里开始研究关系的定义。A X B的任意子集就是就是从集合A到集合B的一个二元关系，简称关系。R为空集的时候就是空关系，当R自反时为恒等关系，当这个子集等于原集合时为全关系。A为关系R的前域，B为关系R的后域，同时对于C和D有C为定义域D为值域，两个集合的并集为域。会考察关系的定义域值域以及域，确定好每个关系的第一元素和第二元素就可以解决问题。

由以上的讨论可知道关系的表示可以枚举表示。同时还可以用有向图以及布尔矩阵表示出关系。由于关系可以用布尔矩阵表示，因而也可以相应地对布尔矩阵使用并运算交运算以及布尔积。同时这些运算还涉及到交换律、结合律以及分配律。关系是以序偶为元素的特殊集合，因而可以对它用集合的所有运算。交并差与第一章相同，注意补运算是相关于原本的集合笛卡尔积的。在此基础上关系可以进行复合运算。复合运算的本质是合成，通过中间元素确定前域以及后域。基于关系图的处理要注意搭建中间桥梁，基于关系矩阵时可以直接进行布尔积运算，然后根据结果矩阵写出答案。这里相关的证明题和之前证明的思路类似，只需引入一个复合运算需要的中间变量完成综合分析即可。同时这里还要能够举出反例完成题目的说明。

相应的关系也会有逆运算。逆运算就是交换前域后域，对于关系图的转化是改变有向图的指向方向，对于关系矩阵就是将其转置。相关的证明延续之前的思路。关系的幂运算基于复合运算的原理，幂集的基数会单调不增。

关系还有一些特殊的性质。自反性与反自反性，对称性与反对称性，还有传递性。自反反自反以及对称反对称都是不是非黑即白的，存在既不属于这个也不属于那个的情况。判断自反看关系图的自环情况以及关系矩阵的对角线，对称性与反对称性要看节点之间的连线情况，存在既是对称也是反对称的情况。传递关系的关系图和矩阵判断可能相对不会太好看，主要是要确定存不存在中间连接。对于抽象的关系上述的方法不太方便，于是要用到集合关系上的判定定理。几个公式以及相关的判断定理要记住并理解。

关系还有闭包运算。闭包运算的重点是确定是否添加最少的元素以及是否具备对应的性质。闭包也有相关的定理公式，这里要注意的是定义证明以及数学归纳法的使用。