离散数学-图的定义和分类

计算机科学与工程学院 离散数学教研组 * 第12章图 12.1 图的基本概念 12.1.1 图的定义 无序积 定义12.1 设A,B为任意集合，称集合 A&B＝{(a,b)|a∈A，b∈B} 为A与B的无序积，(a,b)称为无序对。 图的定义 　　定义12.2一个图是一个序偶，记为 图的分类(按边的方向) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点； 若边e与有序结点对相对应，则称边e为有向边(或弧)，记为e＝，这时称u是边e的始点(或弧尾).v是边e的终点(或弧头)，统称为e的端点； 每条边都是无向边的图称为无向图； 每条边都是有向边的图称为有向图； 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。 例12.2 　　设图G＝如右图所 示。这里 V＝{v1,v2,v3,v4,v5}， E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}， 其中 例12.3 上图所示的三个图分别表示为： 几个概念 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的； 图的分类(按边的重数) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边， 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边； 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj)或的重数； 含有平行边的图称为多重图； 非多重图称为线图； 无自回路的线图称为简单图。 例12.4 G1、G2是多重图，G3是线图，G4是简单图。 图的分类(按权) 　　定义12.5 赋权图G是一个三重组或四重组 ，其中V是结点集合，E是边的集合，f是从V到 非负实数集合的函数，g是从E到非负实数集合的函数。 非赋权图称为无权图。 12.1.2　结点的度数 在无向图G＝中，与结点v(v?V)关联的边的条数(有环时计算两次)，称为该结点的度数，记为deg(v)； 在有向图G＝中，以结点v为始点引出的边的条数，称为该结点的出度,记为deg+(v)；以结点v为终点引入的边的条数，称为该结点的入度,记为deg-(v)；而结点的引出度数和引入度数之和称为该结点的度数，记为deg(v)，即deg(v)＝deg+(v)+deg-(v)； 对于图G＝，度数为1的结点称为悬挂结点，它所关联的边称为悬挂边。 在图G＝中，称度数为奇数的结点为奇度数结点，度数为偶数的结点为偶度数结点。 例12.6 deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1； 握手定理 在无向图G＝中，则所有结点的度数的总和等于边数的两倍，即： 推论 在图G＝中，其V＝{v1,v2,v3,…,vn}，E＝ 度数序列 设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 例12.7 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？ 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什么？ 12.1.3　子图与补图 定义12.7 设有图G＝和图G'＝。 若V'?V，E'?E，则称G'是G的子图，记为G'?G。 若G'?G，且G'≠G(即V'?V或E'?E)，则称G'是G的真子图，记为G'?G。 若V'=V，E'?E，则称G'是G的生成子图。 设V"?V且V"≠?，以V"为结点集，以两个端点均在V"中的边的全体为边集的G的子图称为V"导出的G的子图，简称V"的导出子图。 例12.8 　在如图中，给出了图G以及它的真子图G'和 定义12.8完全图 设G＝为一个具有n个结点的无向简单图，如果G中任一个结点都与其余n-1个结点相邻接，则称G为无向完全图，简称G为完全图，记为Kn。 设G＝为一个具有n个结点的有向简单图，若对于任意u,v?V(u?v)，既有有向边，又有有向边，则称G为有向完全图，在不发生误解的情况下，也记为Kn。 例12.9 　　无向的简单完全图K3，K4，K5和有向的简单 完全图K3。 定义12.9补图 　　设G＝为具有n个结点的简单图, 从完全图Kn中删去G中的所有边而得到的图 称为G相对于完全图Kn的补图，简称G的补 图，记为G。 　　这里，当G为有向图时，则Kn为有向完 全图：当G为无向图时，则Kn为无向完全图 例12.10 12.1.4　图的同构 定义12.10 　　设两个图G=和G‘=，如果 存在