08-1 叉积基本介绍

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叉积也可以从线性变换的角度来深刻理解。在这之前先讨论一下叉积的基本知识。二维空间两个向量v和w，叉积v x w等于它们所围成的平行四边形的面积。请注意这种叉积计算是有正负的，代表取向。可以通过基向量i和j的相对位置关系来进行记忆，i x j=+1。

平行四边形的面积可以通过行列式来进行计算。行列式代表着向量i和j构成的单位面积，经过线性变换之后的缩放倍率，因此两个向量v和w的坐标设定为行列式的列，计算行列式就得到这两个向量围成的平行四边形的面积。

叉积计算有一些性质：两个向量长度不变，互相垂直时所构成的平行四边形面积最大；其中一个向量放大3倍，所得平行四边形面积也同样放大3倍。

前面是为了描述叉积所建立的基本概念，但实际上的叉积定义是从两个三维向量v和w，生成一个新的三维向量p，

。

p的长度就是两个向量v和w构成的平行四边形的面积，其方向与平行四边形的面垂直，采用右手定则确定。

例如向量

，向量

，则根据右手定则，其叉积指向x轴的负方向，可得

。

叉积计算公式：

但这种公式不如通过行列式的方法进行记忆：

需要注意一点，这里将向量写成了矩阵的列，在教科书里大多是写作向量的行，因为矩阵转置不改变行列式的值，所以不影响结果。写作列主要是为了更加直观。

08-2 以线性变换的眼光看叉积

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叉积有其计算公式，以及很多可以通过计算验证的性质：

但为了深入概念，我们试着从几何的方面来理解它。

多维空间通过线性变换变为一维空间的时候。该变换与沿一维空间方向的唯一的向量对应。也就是说实施这个线性变换，和与这个向量点乘是等价的。这个向量就被称为这个线性变换的对偶向量。

现在就是根据向量v和w，定义一个从三维到一维的线性变换，将这个变换与三维空间中的对偶向量关联，这个对偶向量就是向量v和w的叉积。理解这个线性变换，就可以理解叉积计算的几何意义。

如果从二维空间中叉积的计算进行推导，那么三维空间中应该涉及到三个向量u、v和w，并且他们叉积的值，就是三个向量坐标的行列式。而从几何上讲，这个行列式给出的是三个向量张成的平行六面体的体积。

这个想法已经很接近于真实的叉积了。如果将第一个向量u看作可变的向量

。我们就有一个从三维空间到数轴的函数:

。

输入一个向量

，然后通过矩阵行列式得到一个数值。这个函数的意义就是对任意的向量，求得它和

v以及w所确定的平行六面体的有向体积。该函数为线性函数，可以根据行列式的性质来证明这一点。而对一个线性的函数，可以通过矩阵乘法来描述这个函数。而因为这是一个从三维空间到一维空间的变换，所以存在一个1×3矩阵来表示这一变换，

。

从对偶性的角度而言，要寻找的就是一个特殊的对偶向量p，它与任意向量

的点积，就可以实现该向量到一维空间的变换。即点积等于3×3矩阵的行列式，

。

两面展开得到计算结果

。

从而可得：

。

与叉积的计算公式对比，发现公式只是引入i，j，k，与相应的系数配合，从而得到这个向量。

从几何进行理解，一个向量p与

点乘的结果，等于

、向量

v向量w所确定的平行六面体的有向体积。什么样的向量p才能满足这样的特殊性质？

回想如何计算平行六面体的体积：首先获得向量v和w所确定的平行四边形的面积，然后该面积乘以向量

在垂直于平行四边形方向上的分量（底面积乘以高）。

而向量p与任意向量

点积的几何解释，是将

投影在

p上，然后将投影长度与p的长度相乘。

如果p垂直于v和w，且长度为平行四边形面积，则p和

的点积就是，将

投影在垂直于

v和w的方向上，投影长度与平行四边形面积相乘，所得结果恰为平行六面体的体积。如果选择了合适的向量方向，则点积为正的情况，就会与

、向量

v和向量w满足右手定则的情况相同。

于是我们找到了向量p，满足

。从几何上讲，这个向量与向量

v和w垂直，并且其长度与这两个向量张成的平行四边形面积相同。而从计算的角度，它的坐标系数符合

。两者是同一个向量。