数列

首先明确数列的定义
无穷多个数按次序一个接一个地排列下去，就构成一个数列。无穷多个数按次序一个接一个地排列下去，就构成一个数列。无穷多个数按次序一个接一个地排列下去，就构成一个数列。
数列的一般项记作｛xn｝｛x_n｝｛xn｝

极限定义

假设一个数列为｛1n｝｛\frac{1}{n}｝｛n1｝，那么当nnn越大，它就越接近0，所以我们说数列｛1n｝｛\frac{1}{n}｝｛n1｝的极限为000,下面给出了数列极限的定义
设｛xn｝是一个数列，a是实数，如果对任意给定的ε>0，总存在一个正整数N，当n>N时，都有∣xn−a∣<ε,我们就称a是数列｛xn｝的极限，或者称数列｛xn｝收敛，且收敛于a，记为设｛x_n｝是一个数列，a是实数，如果对任意给定的\varepsilon>0，总存在一个正整数N，当n>N时，都有|x_n-a|<\varepsilon,我们就称a是数列｛x_n｝的极限，或者称数列｛x_n｝收敛，且收敛于a，记为设｛xn｝是一个数列，a是实数，如果对任意给定的ε>0，总存在一个正整数N，当n>N时，都有∣xn−a∣<ε,我们就称a是数列｛xn｝的极限，或者称数列｛xn｝收敛，且收敛于a，记为
lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\rarr\infin}x_n=an→∞limxn=a
特别地，当a=0时，这种数列被称为无穷小量。我们称没有极限的数列是发散的。特别地，当a=0时，这种数列被称为无穷小量。我们称没有极限的数列是发散的。特别地，当a=0时，这种数列被称为无穷小量。我们称没有极限的数列是发散的。
数列极限有一些十分重要的性质：

若lim⁡n→∞xn=a,lim⁡n→∞yn=b，且a>b,则总存在正整数N，当n>N时，不等式xn>yn成立若\lim\limits_{n\rarr\infin}x_n=a,\lim\limits_{n\rarr\infin}y_n=b，且a>b,则总存在正整数N，当n>N时，不等式x_n>y_n成立若n→∞limxn=a,n→∞limyn=b，且a>b,则总存在正整数N，当n>N时，不等式xn>yn成立
若数列｛xn｝收敛，则它的极限是唯一的若数列｛x_n｝收敛，则它的极限是唯一的若数列｛xn｝收敛，则它的极限是唯一的
若存在正整数N，当n>N时，有xn⩽yn⩽zn,且lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞zn=a，则lim⁡n→∞yn=a若存在正整数N，当n>N时，有x_n\leqslant{y_n}\leqslant{z_n},且\lim\limits_{n\rarr\infin}x_n=\lim\limits_{n\rarr\infin}z_n=a，则\lim\limits_{n\rarr\infin}y_n=a若存在正整数N，当n>N时，有xn⩽yn⩽zn,且n→∞limxn=n→∞limzn=a，则n→∞limyn=a

有界数列

若存在两个数A，B（设A<b）,数列｛xn｝的每一项都在闭区间[A,B]内，则称｛xn｝为有界数列，称A为它的下界，B为它的上界。若存在两个数A，B（设A<b）,数列｛x_n｝的每一项都在闭区间[A,B]内，则称｛x_n｝为有界数列，称A为它的下界，B为它的上界。若存在两个数A，B（设A<b）,数列｛xn｝的每一项都在闭区间[A,B]内，则称｛xn｝为有界数列，称A为它的下界，B为它的上界。
性质：
有极限的数列是有界的。有极限的数列是有界的。有极限的数列是有界的。

极限运算

两个数列极限的运算与基本四则运算基本一致，需要注意无穷小量等同0处理

单调有界数列

如果一个数列的每一项都大于等于前一项，我们就称这个数列是单调增加的，如果一个数列的每一项都严格大于前一项，我们就称这个数列是严格单调增加的，单调减少和严格单调减少同理。
这里有一个很重要的结论：
单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。

无穷大

对于一部分数列来说，它不是越来越接近一个值，而是无限制的增大，我们称它的极限为无穷大，下面给出它的严格定义：
设｛xn｝是一个数列，如果对任意给定的G>0,总存在正整数N，当n>N时，必有∣xn∣>G,我们称｛xn｝是一个无穷大量，记为设｛x_n｝是一个数列，如果对任意给定的G>0,总存在正整数N，当n>N时，必有|x_n|>G,我们称｛x_n｝是一个无穷大量，记为设｛xn｝是一个数列，如果对任意给定的G>0,总存在正整数N，当n>N时，必有∣xn∣>G,我们称｛xn｝是一个无穷大量，记为
lim⁡n→∞xn=∞\lim\limits_{n\rarr\infin}x_n=\infinn→∞limxn=∞
或
xn→∞(n→∞)x_n\rarr{\infin}(n\rarr{\infin})xn→∞(n→∞)
无穷大有一些重要的性质：

无穷大包含正无穷大和负无穷大
无穷大量的倒数是无穷小量

无穷的运算

都是正(负)无穷大的量之和也是正(负)无穷大量
有界数列和无穷大量的和也是无穷大量
收敛数列和无穷大量的乘积是无穷大量

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