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【控制】Z变换及其原理讲解
【Matlab 控制】拉氏变换和Z变换

拉氏变换原理分解理解

拉氏变换原理分解理解
- 1. 拉普拉斯变换
- 2. 拉普拉斯逆变换
- - （1）反演公式
  - （2）查表法（分解部分分式法）
- 3. 拉氏变换的一些性质
- - （1）线性性质
  - （2）微分定理
  - （3）积分定理
  - （4）实位移定理
  - （5）复位移定理
  - （6）初值定理
  - （7）终值定理（原函数终值需要确实存在）
  - 2. 常见函数拉氏变换
- 4. 拉氏变化拆解
- - 4.1 傅里叶变换
- 5. Matlab代码实现

拉氏变换原理分解理解

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数 t(t≥0)t(t\ge 0)t(t≥0) 的函数转换为一个参数为复数 sss 的函数。

拉普拉斯变换是对于 t≥0t\ge 0t≥0 函数值不为零的连续时间函数 x(t)x(t)x(t) 通过关系式

X(s)=∫o∞x(t)e−stdtX(s) = \int_o^{\infty} x(t) e^{-st} dtX(s)=∫o∞x(t)e−stdt

(式中 −st-st−st 为自然对数底 eee 的指数)变换为复变量 sss 的函数 X(s)X(s)X(s)。它也是时间函数 x(t)x(t)x(t) 的“复频域”表示方式。

1. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换
如果定义：
f(t)f(t)f(t) 是一个关于 ttt 的函数，使得当 t<0t<0t<0 时候，f(t)=0f(t)=0f(t)=0；
sss 是一个复变量；L\mathcal{L}L 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分，F(s)F(s)F(s) 是 f(t)f(t)f(t) 的拉普拉斯变换结果。
则 f(t)f(t)f(t) 的拉氏变换可由下式给出：

F(s)=∫o∞f(t)e−stdtF(s) = \int_o^{\infty} f(t) e^{-st} dtF(s)=∫o∞f(t)e−stdt

2. 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换是已知 F(s)F(s)F(s) 对 f(t)f(t)f(t) 进行求解的过程，用符号 L−1\mathcal{L}^{-1}L−1 表示。

Ref:
拉普拉斯变换-百度百科

（1）反演公式

f(t)=12πj∫σ−jωσ+jωF(s)⋅etsdsf(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F(s)\cdot e^{ts}dsf(t)=2πj1∫σ−jωσ+jωF(s)⋅etsds

（2）查表法（分解部分分式法）

试凑法
系数比较法
留数法

From: 自动控制原理（西北工业大学卢京潮）-P7

3. 拉氏变换的一些性质

（1）线性性质

L[af1(t)±bf2(t)]=aF1(s)±bF2(s)\mathcal{L}[af_1(t) \pm bf_2(t) ] = aF_1(s) \pm bF_2(s)L[af1(t)±bf2(t)]=aF1(s)±bF2(s)

（2）微分定理

L[f′(t)]=s⋅F(x)−f(0)\mathcal{L}[f'(t)] = s\cdot F(x) - f(0)L[f′(t)]=s⋅F(x)−f(0)

（3）积分定理

L[∫f(t)dt]=1sF(s)+1sf(−1)(0),右上角−1表示1次积分运算\mathcal{L}[\int f(t)dt] = \frac1s F(s) + \frac1s f^{(-1)}(0),\quad 右上角-1表示1次积分运算L[∫f(t)dt]=s1F(s)+s1f(−1)(0),右上角−1表示1次积分运算

（4）实位移定理

L[f(t−τ0)]=e−τ0sF(s)\mathcal{L}[f(t-\tau_0)] = e^{-\tau_0 s} F(s)L[f(t−τ0)]=e−τ0sF(s)

Proof: 左=∫0∞f(t−τ0)e−tsdt左 = \int_0^\infty f(t-\tau_0)e^{-ts} dt左=∫0∞f(t−τ0)e−tsdt

令t−τ0=τt-\tau_0 = \taut−τ0=τ

=∫τ0∞f(τ)e−s(τ+τ0)dτ=e−τ0s∫−τ0∞f(τ)e−τsdτ=右=\int_{\tau_0}^\infty f(\tau)e^{-s(\tau+\tau_0)}d\tau=e^{-\tau_0s}\int_{-\tau_0}^\infty f(\tau)e^{-\tau s}d\tau=右=∫τ0∞f(τ)e−s(τ+τ0)dτ=e−τ0s∫−τ0∞f(τ)e−τsdτ=右

（5）复位移定理

L[eAtf(t)]=F(s−A)\mathcal{L}[e^{At}f(t)] = F(s-A)L[eAtf(t)]=F(s−A)

Proof: 左=左=左=

（6）初值定理

lim⁡t→0=lim⁡s→∞s⋅F(s)\lim_{t\rightarrow 0} = \lim_{s\rightarrow\infty}s\cdot F(s)t→0lim=s→∞lims⋅F(s)

（7）终值定理（原函数终值需要确实存在）

lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0s⋅F(s)\lim_{t\rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s\rightarrow 0}s\cdot F(s)t→∞limf(t)=s→0lims⋅F(s)

From: 自动控制原理（西北工业大学卢京潮）-P6

2. 常见函数拉氏变换

	Number	F(s)F(s)F(s)	f(t)(t≥0)f(t) (t\ge0)f(t)(t≥0)
*	1	111	δ(t)\delta(t)δ(t)
*	2	1s\frac{1}{s}s1	1(t)1(t)1(t)
*	3	1s2\frac{1}{s^2}s21	ttt
*	4	2!s3\frac{2!}{s^3}s32!	t2t^2t2
	5	3!s4\frac{3!}{s^4}s43!	t3t^3t3
*	6	m!sm+1\frac{m!}{s^{m+1}}sm+1m!	tmt^mtm
*	7	1s+a\frac{1}{s+a}s+a1	e−ate^{-at}e−at
	8	1(s+a)2\frac{1}{{(s+a)}^2}(s+a)21	t⋅e−att\cdot e^{-at}t⋅e−at
	9	1(s+a)3\frac{1}{{(s+a)}^3}(s+a)31	12!t2⋅e−at\frac{1}{2!}t^2\cdot e^{-at}2!1t2⋅e−at
	10	1(s+a)m\frac{1}{{(s+a)}^m}(s+a)m1	1(m−1)!tm−1⋅e−at\frac{1}{(m-1)!}t^{m-1}\cdot e^{-at}(m−1)!1tm−1⋅e−at
	11	$$	$$
*	17	a(s2+a2)\frac{a}{(s^2+a^2)}(s2+a2)a	sin⁡(at)\sin(at)sin(at)
*	18	s(s2+a2)\frac{s}{(s^2+a^2)}(s2+a2)s	cos⁡(at)\cos(at)cos(at)

From: 拉氏变化-自动控制原理

4. 拉氏变化拆解

4.1 傅里叶变换

再一个我们常接触的变换就是傅里叶变换了，网上对傅里叶变换的讲解非常多，知乎上也有很多大神对傅里叶变换进行了详解。但网上讲了这么多，其实只占傅里叶变换的一小部分，还有大量的细节值得挖掘。比如，复频率的含义，离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系，傅里叶级数和傅里叶变换的关系等等。我也会在以后尽力分享一些关于傅里叶变换的内容。书归正传，傅里叶变换就是将信号从时域变换到频域下。那么，为什么要将信号从时域变换到频域呢？或者说，为什么频域这么重要呢？

我们可以从定义中找到答案。因为，傅里叶变换是将信号展开到三维中，一维是频率轴，一维是实数轴，另一维是复数轴。而信号原来只是一个时间轴和幅值轴，是一个二维信号。那么，显然将一个信号从二维展开到三维上，就可以让我们看的更清楚。就像一张二维的白纸，如果在二维空间中观察，我们只能看到它的形状。而到了三维空间，我们不仅可以看出形状，还可以知道白纸是有正反面的，还可以对这个白纸进行各种扭曲、折叠等等操作。这部分其实应该画图说明一下，以后一定补上。

自动控制原理也可以称为经典控制理论，其核心就是利用拉普拉斯变换分析系统特征，如系统稳定性、响应速度、稳态误差等等。别看自动控制原理里面感觉内容很多很杂，其实大体可以粗略分为四大块：

如何将系统写为拉氏变换，
如何用拉氏变换定性分析系统（根轨迹），
如何用拉氏变换定量分析系统（频率法），
如何利用拉氏变换设计控制系统（控制器的设计）。

可以看出，拉氏变换才是自控的那根主心骨，学好拉氏变换就能很形象的理解自控里面的很多概念和理论。特别是稳定性定理，在自控中占用了大量篇幅介绍各种稳定性判据，各种变形，到现在我也没记清过到底应该是怎么回事。其实，我们只要理解了稳定性判据的根源，其他各种变形也就很容易理解了。

From: 变换是一种方法论
From: 解开自动控制原理的核心——拉氏变换

5. Matlab代码实现

Matlab 拉氏变换和Z变换

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