1、拉氏变换定义

拉普拉斯变换是一种将时域运算转变为复域下进行研究的方法，拉普拉斯变换的定义是：

如果在时域下有函数f(t)f(t)f(t)，则它的拉氏变换定义为：F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdtF(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dtF(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt其中，F(s)叫做象函数，f(t)叫做象原函数。

2、拉氏变换性质

2.1 线性性

如果L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)L[f_{1}(t)]=F_{1}(s)，L[f_{2}(t)]=F_{2}(s)L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)那么L[C1f(t)+C2f(t)]=C1F1(s)+C2F2(s)L[C_{1}f(t)+C_{2}f(t)]=C_{1}F_{1}(s)+C_{2}F_{2}(s)L[C1f(t)+C2f(t)]=C1F1(s)+C2F2(s)

2.2 微分定理

如果f(t)f(t)f(t) 可微，且L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)那么L[df(t)dt]=sF(s)−f(0−)L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0_{-})L[dtdf(t)]=sF(s)−f(0−)推广下去，如果f(t)f(t)f(t)二阶可微，那么L[d2f(t)dt2]=s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)L[\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}]=s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f^{'}(0_{-})L[dt2d2f(t)]=s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)如果f(t)f(t)f(t)是nnn阶可微，那么L[dnf(t)dtn]=snF(s)−∑i=0n−1sn−i−1f(i)(0−)L[\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}]=s^{n}F(s)-\sum_{i=0}^{n-1}{s^{n-i-1}f^{(i)}(0_{-})}L[dtndnf(t)]=snF(s)−i=0∑n−1sn−i−1f(i)(0−)特别地，如果f(t)f(t)f(t)是0+0^{+}0+时刻加入到系统上，系统是零初始状态，那么有L[dnf(t)dtn]=snF(s)L[\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}]=s^{n}F(s)L[dtndnf(t)]=snF(s)

2.3 延迟定理

如果L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)，那么L[f(t−t0)]=F(s)e−st0L[f(t-t_{0})]=F(s)e^{-st_{0}}L[f(t−t0)]=F(s)e−st0控制系统中，e−sτe^{-s\tau}e−sτ叫做延时环节。

2.4 位移定理

如果L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)，那么L[f(t)eat]=F(s−a)L[f(t)e^{at}]=F(s-a)L[f(t)eat]=F(s−a)

2.5 初值定理

如果L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)，那么lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\lim_{t\to0_{+}}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)

2.6 终值定理

如果L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)L[f(t)]=F(s)，那么lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)t→∞limf(t)=s→0limsF(s)

2.7 卷积定理

如果L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)L[f_{1}(t)]=F_{1}(s)，L[f_{2}(t)]=F_{2}(s)L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)那么L[f1(t)∗f2(t)]=F1(s)F2(s)L[f_{1}(t)*f_{2}(t)]=F_{1}(s)F_{2}(s)L[f1(t)∗f2(t)]=F1(s)F2(s)L[f1(t)f2(t)]=12πjF1(s)∗F2(s)L[f_{1}(t)f_{2}(t)]=\frac{1}{2\pi j}F_{1}(s)*F_{2}(s)L[f1(t)f2(t)]=2πj1F1(s)∗F2(s)

3、常用拉氏变换

f(t)f(t)f(t)	F(s)F(s)F(s)
δ(t)\delta(t)δ(t)	111
K1(t)K1(t)K1(t)（1(t)1(t)1(t)为单位阶跃）	Ks\frac{K}{s}sK
tnt^{n}tn	n!sn\frac{n!}{s^{n}}snn!
e−ate^{-at}e−at	1s+a\frac{1}{s+a}s+a1
tne−att^{n}e^{-at}tne−at	n!(s+a)n+1\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}(s+a)n+1n!
sin(wt)sin(wt)sin(wt)	ws2+w2\frac{w}{s^2+w^2}s2+w2w
cos(wt)cos(wt)cos(wt)	ss2+w2\frac{s}{s^2+w^2}s2+w2s
tsin(wt)tsin(wt)tsin(wt)	2ws(s2+w2)2\frac{2ws}{(s^2+w^2)^2}(s2+w2)22ws

4、数学上做变换的意义

数学上做“变换”的最大好处就是简化运算，乘法、对数等本质上也都是“变换”。乘法实现的是多个相同的数相加，而对数利用ln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna+lnb将乘法运算转化为加法运算。拉氏变换将研究方向从时域转化到频域，其运算过程将微积分运算转化为拉普拉斯算子乘除法运算。对于一个f(t)f(t)f(t)信号施加在零初始状态系统上时，对其对应的F(s)F(s)F(s)每乘以一个sss，就相当于对f(t)f(t)f(t)做了一次微分；而每除以一个sss，就相当于对f(t)f(t)f(t)做了一次积分。在控制系统中，相当于乘以一个微分环节或积分环节，从而有利于系统建模。

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