前言：

提前说明一下，这一节有一点晦涩难懂，我也是看了好多遍。

所以一定要有耐心，我把视频老师讲的地方重新演说了一遍，希望能够协助你理解。

１　相似变换：

研究的是方阵，

相似变化的目的是简化。

２　矩阵的对角化

方阵简单形式，

也就是一个方阵能不能和一个对角阵相似

【注意，我们的根本目的还是简化计算】也就是找到对角化矩阵是最终目的，相似矩阵是手段。

下面的式子，也就是，

Ｐ是Ａ的相似矩阵运算定义的一个可逆方阵，∧是Ａ的相似矩阵，他们是互为相似，也就是下面的第三行，

我们做一个假设，就是下面第四行，

下面就这个假设展开，

Ｐ１为第一列，这里分别是一个对角阵和一个由列向量组成的矩阵：

我们进行矩阵运算，进行变形，

到这里，我们上面的假设推出的结论如上，第四行，这个不就是特征值和特征向量的定义吗？

我们回顾一下，

(7条消息) 线性代数【9】 - 特征值和特征向量_山云的专栏-CSDN博客

Ｐｉ不就是Ｘ，于是有如下结论：

下面这题是，反之亦然的引用：

就是假如我们知道是特征向量，我们可以把矩阵　，通过一对可逆的同阶方阵，搞成他的特征向量和特征值组成的一个对角矩阵的关系式子了。

也就是我们实现了根本目标，化简了！！！

以上是结论，

逆阵的求法，老师视频省略了，方法可以看到之前博客：

(7条消息) 线性代数【6】- 初等行变换和矩阵的秩_山云的专栏-CSDN博客

第２节，

这里我演算了一下，

这个例子，我们就是证明了，

一个普通的方阵，

被一对可逆的方阵，

搞成了一个具备大致性质的对角阵，

要对角化，就是要实现我们刚才得出的结论，找到他的特征。。。

对角化的充分必要条件，就是找到两个线性无关的特征向量。

上面，第一行，我们用特征向量的定义代入，求出特征值。

然后，依据这个特征值解特征向量。我们求出他的特征向量和基础解系。

【案，我详细写了一下】

我们由特征向量的一般式得出特征值后，代入这个系数行列式里面，得出系数行列式。

然后，用前面的方法，求他的基础解系。

这里只有一个线性无关的特征向量，

可逆　＝　线性无关。

既然有相似的对角阵，则必有特征值和特征向量对，我们代入特征方程求解行列式，

用代数余子式展开

依据，定义就把Ａ的对角阵相识矩阵，安装特征值写成来了。至于可逆矩阵，这个是工具我们不考虑了。

由上节知识：迹的概念，

只需要依次求出Ｐ的列向量，而列向量和对角阵（特征值）Ｂ的相应的特征向量对于。

第一列，应该对应Ｂ的“２”的特征值的特征向量，

第２列，应对于“Ｙ”的特征值的特征向量

第３列，对于Ｂ的“－１”列的特征向量

求齐次线性方程的基础解系，

首先有，特征向量２，利用λ＝２，代入特征方程的公式，计算行列式的系数，然后，化为阶梯阵，将非阶梯点的变量设定为自由变量，进行求解。

同理，Ｙ＝１，那么就是对应１的

同理，

这样，我们求出了３个“列”特征向量，然后，依据对应关系，我们将列向量合成一个特征值向量。

检测，向量的线性相关性，３个向量是线性无关的。那么，对角化的充分必要条件，就是要有３个线性无关的特征向量，我们现在有３个，那么，一定可以对角化。，

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