线性代数之相似矩阵与二次型基础点

向量的内积

假设有n维向量如下：

则称为向量x，y的内积。

注:内积类似于行列式，是向量间的运算，实际上是一个数。

几点注意：

如果x和y都是列向量，则
[x,y] = [y,x] (乘法交换律)
[λx,y] =λ[x,y]= [x, λy] （提取公因子、乘法结合律）
[x+y,z] = [x,z]+[y,z] (乘法分配律)

向量的长度

则||x||称为n维向量x的长度(或范数)。

特别的当||x||的长度为1时称为单位向量。

向量夹角

称为n维向量x、y的夹角。

特别的[x,y]=0时，向量x和y正交。

显然对于向量组来说若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。

规范正交基

设n维向量向量空间V（V⊂Rn ）的基，如果两两正交且都是单位向量，则称之为向量空间V的一个规范正交基。

很显然向量空间V里的任意向量a均可以由线性表示，其表达式为:

施密特正交化

如一种由线性无关的向量组构建成同维的两两正交的向量组的一种方法。

构建步骤：

Step1：构建两两正交的向量组

Step2：对单位化后的即是所求

上述过程又叫做对线性无关的向量组(向量空间V里的一个基)的规范正交化。

正交矩阵

n阶矩阵A满足如下条件

则称为正交矩阵，或简称为正交阵。向量方式表示见下：

可简写成这里不难发现i和j相当的地方元素皆为1，不等的地方都是0，即对于单位矩阵E。

进而得到结论：方阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量，且两两相交。

（将方阵正交阵的判定条件转为每列是否是单位向量、两两向量是否正交）。

几点性质：

1 如果A是正交矩阵，那么也都是正交阵且|A|=1或者|A|=-1。

2 如果A和B都是正交矩阵，那么AB也是正交矩阵。

特征值与特征向量

针对n阶的矩阵A，如果数λ 和n维非零列向量x有如下关系：

Ax=λ x 则称λ 是矩阵A的特征值，非零向量x称为该特征值对应的特征向量。

上式子可变换成 (A-λE）X=0 ，由齐次方程组的性质则知 |A-λE |=0

特征方程与特征多项式

由特征值的定义结合齐次方程组的性质则知 |A-λE |=0，即有如下展开式：

这个以λ 为未知数的一元n次方程叫做矩阵A的特征方程，

|A-λE |是λ 的n次多项式，记作f(λ ),称为矩阵A的特征多项式。

这里不难发现:

即特征值之和等于行列式对角线的和，特征值的积等于行列式的值。

相似矩阵

设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得

则称B是A的相似矩阵或者A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换。可逆矩阵P称为A变成B的相似变换矩阵。

若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，A与B的特征值也相同。

如果n阶矩阵A与对角阵相似，

则即是A的n个特征值。

矩阵对角化

对n阶矩阵A找一个相似变换矩阵P使得的过程叫做矩阵的对角化。

n阶矩阵A与对角阵相似（A能对角化）的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角型相似。

对称矩阵对角化

如果是对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若则正交。
设A为n阶对称阵，则必有正交阵P使得其中⋀ 是以A的n个特征值为对角元的对角阵。
设A为m阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A-λE)为n-k，对应的特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。

二次型

含n个变量的二次齐次函数，表达式见下

称为二次型。

任给一个二次型就能唯一确定一个对称阵。反之任给一个对称阵也能唯一确定一个二次型。对称阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称阵A的二次型。对称阵A的秩即叫做二次型f的秩。

二次型的标准形

仅含有平方项的二次型称为二次型的标准形。

矩阵合同

对于n阶矩阵A和B，如果有可逆矩阵C使得则称对称阵A与B合同。

任给二次型总有正交变换x=Py，使得f化为标准形

其中是矩阵的特征值。

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