线性代数之——相似矩阵

当 AAA 有足够的特征向量的时候，我们有 S−1AS=ΛS^{-1}AS=\LambdaS−1AS=Λ。在这部分，SSS 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵 MMM，矩阵 AAA 和 M−1AMM^{-1}AMM−1AM 称为相似矩阵，并且不管选择哪个 MMM，特征值都保持不变。

1. 相似矩阵

假设 MMM 是任意的可逆矩阵，那么 B=M−1AMB = M^{-1}AMB=M−1AM 相似于矩阵 AAA。

B=M−1AM→A=MBM−1B = M^{-1}AM \to A = MBM^{-1}B=M−1AM→A=MBM−1

也就是说如果 BBB 相似于 AAA，那么 AAA 也相似于 BBB。如果 AAA 可以对角化，那么 AAA 相似于 Λ\LambdaΛ，它们肯定具有相同的特征值。

相似的矩阵 AAA 和 M−1AMM^{-1}AMM−1AM 具有相同的特征值，如果 xxx 是 AAA 的一个特征向量，那么 M−1xM^{-1}xM−1x 是 B=M−1AMB = M^{-1}AMB=M−1AM 的特征向量。

Ax=λx→MBM−1x=λx→B(M−1x)=λ(M−1x)Ax=\lambda x \to MBM^{-1}x=\lambda x \to B(M^{-1}x)=\lambda (M^{-1}x)Ax=λx→MBM−1x=λx→B(M−1x)=λ(M−1x)

所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 MMM 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办，但如果有重复的特征值就会比较困难了。

这些 BBB 都和 AAA 一样行列式为 0，秩为 1，一个特征值为 0，并且矩阵的迹为 0，所以另一个特征值也为 0。但零矩阵不和它们相似，因为只有零矩阵自己和自己相似。

从 AAA 到 B=M−1AMB=M^{-1}AMB=M−1AM，有一些东西会改变一些则不变。

相似矩阵的特征值不变，矩阵的迹为特征值的和也不变，矩阵的行列式为特征值的乘积也不变，矩阵的秩不变，针对每个特征值的特征向量数目不变。

2. 若尔当形（Jordan Form）

上面的矩阵有三个特征值 5,5,5 在它的对角线上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍数，代数重数为 3，几何重数为 1。每个和它相似的矩阵 B=M−1AMB=M^{-1}AMB=M−1AM 都有三重特征值 5,5,5，B−5IB-5IB−5I 的秩也为 2，零空间的维度为 1。和这个若尔当块 JJJ 相似的矩阵都只有一个不相关的特征向量 M−1xM^{-1}xM−1x。

此外，JTJ^TJT 和 JJJ 相似，并且此时的矩阵 MMM 正好是反恒等矩阵。

由于 JJJ 是我们能得到的最接近于对角矩阵的形式，方程 du/dt=Jud\boldsymbol u/dt=J\boldsymbol udu/dt=Ju 不能再进一步被简化，我们必须直接利用回带法解决。

对于每个 AAA，我们想要选择一个 MMM 来使得 M−1AMM^{-1}AMM−1AM 尽可能接近对角形式。当 AAA 有 nnn 个特征向量的时候，它们成为 MMM 的列，然后 M=SM=SM=S，S−1AS=ΛS^{-1}AS=\LambdaS−1AS=Λ 是对角矩阵。在一般情况下，特征向量会缺失，我们并不能完全对角化。假设 AAA 有 sss 个不相关的特征向量，那么它相似于一个有 sss 个块的矩阵，每个块都像上面的矩阵 JJJ 一样，特征值位于对角线上，并且元素 1 正好位于对角线上面，其中每个块对应于一个特征值。如果有 nnn 个特征向量 nnn 个块，那所有的块都是 1×1 的，JJJ 也就变成了 Λ\LambdaΛ。

AAA 相似于 BBB 如果它们具有相同的若尔当形 JJJ，其它情况都不符合。

对于每一个相似矩阵族，我们挑选出一个最特别的成员称为 JJJ，这个族中其它的每个矩阵都可以表示为 A=MJM−1A=MJM^{-1}A=MJM−1。这时候，我们有 MJM−1MJM−1=MJ2M−1MJM^{-1}MJM^{-1}=MJ^2M^{-1}MJM−1MJM−1=MJ2M−1，因此我们依然可以用 MJ100M−1MJ^{100}M^{-1}MJ100M−1 来求解 A100A^{100}A100。

相似性的核心在于——让矩阵变得尽可能简单但同时保留它的必要属性。

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