King Arthur's Knights 【HDU - 4337】【哈密顿回路性质Dirac定理】

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一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于N/2,则哈密顿回路一定存在.(N/2指的是⌈N/2⌉,向上取整)，用 $\frac{N + 1}{2}$

——这就是Dirac定理。

在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路

过程:

　　1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.

　　2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.

　　3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 -> S,即形成了一个回路.

　　4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.

证明:

　　可利用鸽巢原理（抽屉原理）证明.

可参考资料

多组输入，别忘记初始化

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#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 155;
int ans[maxN], N, M;
inline void reverse(int l, int r)   //将l到r部分翻转
{while(l < r){swap(ans[l], ans[r]);l++; r--;}
}
bool vis[maxN], mp[maxN][maxN];
void Hamilton()
{for(int i=1; i<=N; i++) vis[i] = false;int s = 1, t;//初始化取s为1号点int have_node = 2;int i, j;int w;for(i = 1; i <= N; i++) if(mp[s][i]) break;t = i;//取任意邻接与s的点为tvis[s] = vis[t] = true;ans[0] = s; ans[1] = t;while(true){while(true) //从t向外扩展{for(i = 1; i <= N; i++){if(mp[t][i] && !vis[i]){ans[have_node++] = i;vis[i] = true;t = i;break;}}if(i > N) break;}w = have_node - 1;//将当前得到的序列倒置,s和t互换,从t继续扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展i = 0;reverse(i, w);swap(s, t);while(true) //从新的t继续向外扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展{for(i = 1; i <= N; i++){if(mp[t][i] && !vis[i]){ans[have_node++] = i;vis[i] = true;t = i;break;}}if(i > N) break;}if(!mp[s][t])   //如果s和t不相邻,进行调整{for(i = 1; i < have_node - 2; i++)   //取序列中的一点i,使得ans[i]与t相连,并且ans[i+1]与s相连if(mp[ans[i]][t] && mp[s][ans[i + 1]])break;w = have_node - 1;i++;t = ans[i];reverse(i, w);  //将从ans[i +１]到ｔ部分的ans[]倒置}   //此时s和t相连if(have_node == N) break;   //如果当前序列包含n个元素,算法结束for(j = 1; j <= N; j++)   //当前序列中元素的个数小于n,寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一个点相连{if(vis[j]) continue;for(i = 1; i < have_node - 2; i++)if(mp[ans[i]][j])break;if(mp[ans[i]][j]) break;}s = ans[i - 1];t = j;  //将新找到的点j赋给treverse(0, i - 1);  //将ans[]中s到ans[i-1]的部分倒置reverse(i, have_node - 1);   //将ans[]中ans[i]到t的部分倒置ans[have_node++] = j;    //将点j加入到ans[]尾部vis[j] = true;}if(have_node < N || !mp[s][t]) printf("no solution\n");else for(int i=0; i<have_node; i++) printf("%d%c", ans[i], i == have_node - 1 ? '\n' : ' ');
}
int main()
{while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF){for(int i=1; i<=N; i++) for(int j=1; j<=N; j++) mp[i][j] = false;for(int i=1, u, v; i<=M; i++){scanf("%d%d", &u, &v);mp[u][v] = mp[v][u] = true;}Hamilton();}return 0;
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