命题逻辑的推理理论

一些笔记：

判断推理是否正确，就是判断是否会出现1推出0的情况，如出现则推理错误，否则正确。

命题公式A1,A2,...,AkA_1,A_2,...,A_kA1,A2,...,Ak推出B的推理正确当且仅当

A1∧A2∧...,∧Ak→BA_1 \wedge A_2 \wedge...,\wedge A_k \rightarrow BA1∧A2∧...,∧Ak→B

为永真式。

判断推理是否正确的暴力方法，真值表法。

9条推理定律

附加律

A⇒(A∨B)A \Rightarrow(A \vee B)A⇒(A∨B)

化简律

(A∧B)⇒A(A \wedge B) \Rightarrow A(A∧B)⇒A

假言推理

(A→B)∧A⇒B(A \rightarrow B) \wedge A \Rightarrow B(A→B)∧A⇒B

拒取式

(A→B)∧¬B⇒¬A(A \rightarrow B) \wedge \neg B \Rightarrow \neg A(A→B)∧¬B⇒¬A

析取三段论

(A∨B)∧¬B⇒A(A \vee B) \wedge \neg B \Rightarrow A(A∨B)∧¬B⇒A

假言三段论

(A→B)∧(B→C)⇒(A→C)(A \rightarrow B) \wedge(B \rightarrow C) \Rightarrow(A \rightarrow C)(A→B)∧(B→C)⇒(A→C)

等价三段论

(A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)(A \leftrightarrow B) \wedge(B \leftrightarrow C) \Rightarrow(A \leftrightarrow C)(A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)

构造性二难

(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)(A \rightarrow B) \wedge(C \rightarrow D) \wedge(A \vee C) \Rightarrow(B \vee D)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)

构造性二难（特殊形式）

(A→B)∧(¬A→B)∧(A∨¬A)⇒B(A \rightarrow B) \wedge(\neg A \rightarrow B) \wedge(A \vee \neg A) \Rightarrow B(A→B)∧(¬A→B)∧(A∨¬A)⇒B

破坏性二难

(A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⇒(¬A∨¬C)(A \rightarrow B) \wedge(C \rightarrow D) \wedge(\neg B \vee \neg D) \Rightarrow(\neg A \vee \neg C)(A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⇒(¬A∨¬C)

推理规则

除上面9条推理定律所推出来的规则外，还有

合取引入规则：

AB∴A∧B\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \\ \hline \therefore A \wedge \boldsymbol{B} \end{array}AB∴A∧B

自然推理系统P

直接证明：就是通过前提加推理规则推出结论。

附加前提证明法：如结论中存在A→BA \rightarrow BA→B形式，可以将A作为前提来使用。

归谬法：将结论的否定作为条件，推出矛盾式，则推理正确。

消解证明法：将公式和结论的否定化成等值的合取范式，通过消解得到空式。除准备工作外，全程只能用前提引入以及消解两条规则。

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