浅谈几个数学问题的认识

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数学在学习过程中给大多数人以艰难的感受，在于人类积累的这份遗产太庞杂了，比较抽象，体系逻辑严密性较高。明确这一点有助于树立信心：从一个角度看古怪的令人疑惑的结论，从另一个角度看可能豁然开朗。

尽力全面的认识可能使我们少受挫败的折磨。借用苏轼的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”

如何认识数学的严密性

数学的严密性表现在基本概念、术语和规则、推理上。

严密、准确是数学语言的首要特点。它要求描述客观事物本质上的准确性，不允许有模棱两可的表述。数学中各种各样的概念、定义、定理、公式等，都准确地表达一个确定的意思，教材中数学语言，选取的是成熟的内容，编审慎重，力求没有歧义，做的比较好。

数学在发展过程中，严密性是至关重要的。但是严密性是相对而言的，不是绝对的，它随着科学及数学的发展在变化着。过去被数学家认为是严密的证明，今天却因其不完善而被修正甚至抛弃的情形也屡见不鲜。然而，严密性的要求毕竟在始终不断推进着数学研究的向前发展，它使数学（特别是在数学基础方面）在实质上和面貌上发生了很大的变化。

数学科学中严密性不是绝对的，在数学发展历史中严密性的程度也是逐步加强的，例如欧几里得的《几何原本》曾经被作为逻辑严密性的一个典范，但后人也发现其中存在不严格，证明过程中也常常依赖于图形的直观。微积分的建立过程更是如此（特别是其中的极限0的认识过程）。

数学发展本身是一个不断改进不断进步的过程。在进步的过程中，对于新问题新情况的研究和认识，在开始时甚至相当长的时期内，可能是有欠缺的，考虑不周甚至是错误的，后人在新的认知基础上对其补充修正，使其得以完善和提高，这是一个持续的扬弃过程，螺旋式上升过程。

数学不需要仰视、神化。凡事要讲究一个度，过度了就会过犹不及。可能由于近代数学落后处于追赶的地位，我国的数学教育很成问题——它只注重教学生去模仿别人建构的数学方法和迷信数学理论，却不告诉学生或不注重让学生知道，数学是怎么建构起来的。中国人仰视数学、神化的夸大数学作用的观念，也就由此而产生，当然也不能走向另一个极端轻视数学。

其实，数学在发展过程中，有些概念和术语甚至基本概念和术语存在模糊性，规则和推理也可能存在尚未觉察的漏洞或悖论，在一项新数学理论的初期尤其如此。现实世界的复杂性和人类实践和认识水平的局限性，导致不存在一成不变的解释一切的简单理论，只能是阶段性的理论，因此是一个过程。但总体而言，在所有的学科中数学的严密性是最好的。

另一方面，数学中模糊性悖论的出现，逼迫数学家投入最大的热情去解决它，数学由此获得了蓬勃发展。

数学的严格性不是绝对的、一成不变的，而是相对的、发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。

数学的研究对象，是人们对现实世界抽象的结果，甚至是对抽象的对象进一步抽象的结果。正因为如此，数学才有今天的蓬勃发展。因而，数学的研究对象与日常生活经验就有了远近之别：有的与学生的生活和知识经验较为接近，他们可以在自己的经验基础上探究并建构起这些数学知识；有的是人类理性思维的结晶，远离学生的生活经验和知识经验，学生很难通过自己的经验探究、发现这些数学知识。优秀的教材和教师是破解这一难题的关键，可以有效减少学生对数学认知的困惑与畏惧。

数学是人类经过曲折的探索过程建构起来的，但它在呈现时，常常省略了产生发展的曲折过程，以非常概括、严谨的形式展现出来。所以学习起来会感到抽象困难。还原数学原本的建构过程，可以帮助学生对人类已有的数学知识的理解。

说数学严密性是相对的，不是否认数学的严密性，数学不可能一步登顶，随着认知活动的不断深入，人们可能发现原来对数学认识上出现某些偏差，需要校正，从而意味着观念的重要变化或更新，甚至是用完全不相容的观点去取代原先的认识，也就是围绕发展阶段的中心，重组或重构使其理论模式和架构更趋合理，实现提升。

数学是纯抽象的吗？

抽象，就是抽取事物一些本质的东西，剔除次要的表面东西。就是说抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征（能把一类事物与他类事物区分开来的特征），而舍弃其非本质的特征。所谓的共同特征，是相对的，是指从某一个侧面看是共同的。抽象的角度取决于分析问题的目的。

数学和实践是相互促进的。

数学起源于现实世界，又高于现实世界的抽象系统，它的有用与否，在于人们的选择性使用。而这种使用又肯定是逼近乃至符合现实世界，否则与之相关的理论就会被人逐渐淡忘抛弃，是一个优胜劣汰的过程。与之相关的理论在找到它使用领域之前，它的价值难以确定，经过现实世界的应用与验证，又激发出新一轮进步。粗略的说这就像人走路——两条腿前后交叉运动前进（应用验证和创新发展交互促进）。如果数学是纯粹的抽象，那它的发展缺乏动力也不会永远趋向真理（正确的认识方向）。数学依赖于其它学科的成果来证明它的方法的正确，其它学科特别是自然科学依赖于数学来描述和刻画其规律。数学在其它各个学科正在进行广泛的渗透。

抽象不是数学独有的特点，但抽象性的确是数学的突出特点，数学抽象有其独有的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式等主要特性而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象；第三，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。

不仅数学概念是抽象的，其思想方法也是抽象的，如数学的公理化和演绎推理特点。

抽象是分层次的，与直观、常识相一致的抽象为初级抽象，与直觉(直观)、常识相背离的抽象可以称之为高层次的抽象，但只要是逻辑一致的，就应当接受它们，等待本学科或其它学科未来的验证。抽象不能完全脱离具体而独自存在，抽象规律需要到现实中去验证，否则没有人敢直接宇航飞行吧。

一些著名数学家从数学研究的体验来阐明数学的经验性与演绎性的相互关系。D.希尔伯特说：数学的源泉就在于思维与经验的反复出现的相互作用，冯·诺伊曼说：数学的本质存在着经验与抽象的二重性；R.库朗说：数学“进入抽象性的一般性的飞行，必须从具体和特定的事物出发，并且又返回到具体和特定的事物中去”；而A.罗宾逊则寄希望于：“出现一种以辩证的研究方法为基础的、态度认真的数学的哲学”。

数学科学的特点

数学科学的特点，蕴涵出它的有特色的思考方式：

(1)抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究。数学抽象的本质，即是在更高层次上不断对已有体系进行重构。

(2)符号化：数学语言与通常的语言有重大的区别，它把自然语言扩充、深化，而变为紧凑、简明的符号语言。这种语言是国际性的，它的功能超过了普通语言，具有简明表达、计算、逻辑推导等功能。

(3)公理化和严格推理：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。演绎法——从普遍性结论或一般性事理推导出个别性结论的论证方法。演绎推理的主要形式是三段论，即大前提、小前提和结论。更加形式化的说，演绎是陈述的序列，每个陈述都可以从它前面的陈述推导出来。本质上，这导致了如何证明第一个句子的公开问题(因为它不能从任何事物得到)。因此，不同版本的公理化命题逻辑都包含一些公理（公理是无法被证明或决定对错，但被设为(公众接受的)不证自明的一个命题。公理是不能由演绎原则来推导，也不能经由数学证明来决定对错，只因为它们是起点；公理无法由任何其他地方推导而来，否则它们就会被归为定理）。其他科学工作为了证明自己的论断常常求助于实验，而数学则依靠推理和计算来得到结论。一个数学问题本身就可以从不同的思维角度来考虑，当然是办法很多，但是目的是多次反复递进研究出一种最优规律。

数学推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理。归纳推理是从个体认识群体，类比推理是从某一个体认识另一个个体，二者对培养人的发散性思维和创造性思维具有重要作用。人类的发明创造开始于感性的发散性思维，终止于理性的收敛性思维。归纳与类比是人类探索世界、发现新事物的重要手段，许多重要的猜想都是通过归纳与类比而提出的。演绎推理是通过对事物的某些已知属性，按照严密的逻辑思维，推出事物的未知属性的科学方法。演绎推理，为人类提供了一种建构理论的有效形式，可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系，使人类的认识领域逐步扩大，认识能力逐步提高。在数学演绎推理中分析必须细致，论证务求严谨。

观察(或试算)往往可以看出事物的个别的特征，经过归纳、类比产生合理猜想，再经过严格证明、论证，这是探索规律的基本过程。

通常猜想是指数学家对重大数学问题，根据所发现的规律作出合情推理，对于我们所遇到的数学问题，在发现规律后，所作的合情推理，往往只能称为猜测。猜测法也是解决问题的一个重要策略，它有助于构思解题的方向。在解决问题时，学会做各种数学猜测，然后加以证明，有利于思维解决问题。

(4)分支众多，涉及广泛。数学新分支不断诞生，数学各分支之间、数学与其他学科之间的新的联系不断涌现，要准确地预测一个数学领域到底在哪些地方有用场是不可能的，但无疑数学渗入各行各业的势头强劲。众多应用领域构造的数学模型就是例证。数学模型是人类认识与改造世界的一个基本手段。现实世界中许多看起来与数学无关的问题都可以用数学模型完美地解决：它先把实际问题的次要因素、次要关系、次要过程忽略不计，抽出其主要因素、主要关系、主要过程；经过一些合理的简化与假设，找出所要研究的问题与某种数学结构的对应关系，把实际问题转化为数学问题；最后在这个模型上展开数学的推导与计算，以形成对问题的认识、判断和预测。

如何认识数学结论的确定性

所谓“结论的确定性”是指，对任何事件，通过数学方法所得到的判断或结论是确定的，但它并不意味着任何事件的发展都有唯一的或确定的结果，比如，概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，随机现象是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一枚硬币，每次不能预先确定出现正面还是反面，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——确定性结论，如多次掷一枚硬币，正反面出现概率为1/2。数学结论由演绎推理为主的推理形成，演绎推理的推理步骤要严格遵守形式逻辑的各种法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤在逻辑上都是准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得到的结论具有逻辑上的确定性和可靠性。

数学结论不是绝对的【简单地应用算术可能导致荒谬的结果，一体积的氮气和一体积的氧气化合反应得到的一体积的一氧化氮，而不是二体积的一氧化氮。一升的酒精和一升的水混合得到大约1.8升酒水混合物。这说明只有经验或客观事实能告诉我们算术法则的适应范围，算术法则并不能适用任何情况。又如，一个人开汽车前两个小时的速度是60千米/时，后三个小时的速度是80千米/时，平均速度是多少？不能这样算（60+80）÷2，正确的算式是（60×2+80×3)÷(2+3）】，是人类可知的范围内并且是在一定前提条件下的结论。不过，数学力求严谨特性和社会扬弃（人们的优胜劣汰选择性使用）过程，仍能保证数学是一种对宇宙（现实物理世界）的有效描述工具。

如何认识数学的有效性

数学在各个领域中的应用越来越广泛。

数学的有效性在于它能从某个角度量化描述或简化描述，数学的领域太广泛了（注意，仅从几本教科书是难以深刻领悟到的），在解释特定领域的科学现象原理时，可以筛选到比较符合的数学定理、公式，在筛选不到时又可以为此创建数学理论。因此，不必迷信或神话数学的有效性，可以认为数学的有效性是特定数学理论在特定范围内的有效性。如果对数学和科学的历史有详细的了解的话，广泛的看，实践是检验真理的唯一标准，数学的起点（支点）和动力来源于现实需要，明确这点将使我们少受误导。

随着人类认识水平的不断深化和提高，数学和科学描述呈现出抽象性和复杂性不断增加，在某个领域快速发展阶段更是如此，此乃数学和科学发展积累使然，另一方面，随着发展进步，综合重构或更好的视角必定产生，又会简化抽象性和复杂性。在当前阶段是最为重要的问题，随着其解决或新的认识可能变得不那么重要。大浪淘沙，留下的是经得起时间考验的事物。经得起时间考验的事物实际是经得起实践考验的事物。

远处看山近处看山，看人攀登自己亲临，山底观景山顶观景，各不相同，远处看山绿色茵茵一片，近处看山大树和青草交错，乱石散乱其间。视角的不同看到的景致大不相同，视角的不同对事物的认识和理解产生的影响也不相同，处在漩涡中的和站在漩涡之外，对漩涡的认识及其描述是不同的。

从一个角度看古怪的令人疑惑的结论，从另一个角度看可能豁然开朗。不同的证明方法给人阅读理解难易程度不同。人们对魔术揭秘前后的认识是大不相同的。每个人都有这种体验：当时不容易理解的问题、难题，随着认识的扩展、深入，后来发现豁然开朗。大道理是相通的，人类对数学的认识也是如此。

人们追求终极真理的理论的想法是信念使然，从发展的角度看是徒劳的。我的意思是人类取得的任何成果是阶段性的，没有终结，现在阐释的宇宙起源之类的问题，是没有定论的（只是一种学说），未来也不会有。人类不可能一劳永逸的解释大自然的全部，因为大自然不会一下子展露它的全部秘密。如果说终极真理是存在的，人类最多只能不断的逼近它，也因此成为人类不断进步的内在动力。