数学符号是数学抽象思维的产物,数学的符号语言有助于思维。研究数学符号的思维功能是提示大脑的数学思维机能和特性的需要。那么本文试就数学符号的思维功能谈几点认识。

一、数学符号是思维活动的物质载体

数学符号按一定的规则组织起来,就成为数学思维活动的物质载体。数学符号的载体功能大致表现于以下三个方面:

1.表示一般规律

数学符号是抽象思维的产物,它可以表示一般的数量关系及变化规律。

如(a,b):(1)表示平面直角坐标系中点的坐标,a为横坐标,b为纵坐标;

(2)表示实数开区间;

(3)表示a,b二数的最大公约数。

符号Δ:在代数中表示一元二次方程的判别式;

在平面解析几何中Δ=b2-4ac表示二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的判别式。根据Δ的值为负为正为零,直接判定是椭圆,双曲线或抛物线的曲线方程。

2.建立数学模型

面对一个符号化的数学问题,例如我们熟悉的方程,函数的表达式等等我们要意识到它们可能是某种数学模型的符号表达式。因为任何符号形式,在某种意义上都是对存在的描述。寻找数学模型的思考过程,被一些学者称之为“火热的思考”。数学模型既能够揭示一个符号形式结构的问题背景,又能够具体,形象地解释这种冰冷的符号形式结构。一个抽象的,甚至枯燥乏味的符号化的数学问题,一旦通过想象联系上了具体,形象的数学模型,冰冷的符号问题一下子就变成一个熟悉、亲切、生动、丰富的具体问题。数学问题解答的一个关键就是:把所要解的问题不断转化成解决过的问题。因此,为符号化的数学问题寻找合适的模型是数学问题解决的一个隐含的要求。

例1.求不定方程x+y+z+t=8的正整数解的个数。

分析:学生一看到题,一般不能马上解出这道题,因为它需要分类讨论,很不简单。

如果我们把它想成投篮模型:可以解释x+y+z+t=8的正整数解个数的问题模型。把8个篮球投入4个球筐中,每个球筐都至少要投一个球,也就是相当于在这8个篮球的7个间隔中插入3个“+”号的状态,而在7个间隔中插入3个“+”号的方法个数是■=35。于是不定方程:x+y+z+t=8的正整数解的个数问题就轻松地给解出来了。

3.表达数学思维模式

数学中的基本原理以及某些典型的数学问题的解法是思维过程的思维反映块,相当于房屋建筑中的一些组合构件,它们适用于某一类特定问题的化归,因而是一些较低层次的具体的数学思维模式。

例如:求向量正交的条件,a=(1,1,2,4),b=(3,x,0,1)

解:a与b正交,有(a,b)=0

得到3+x+4=0

从而x=-7

这里(a,b)=0表示a与b正交,它借助变元把人们的运算经验表示为“相对稳定的思维模式”。

二、符号暗示信息

符号具有意指作用,能暗示信息,波里亚说“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”

1.符号原始状态的暗示信息

例如:“■”的原始寓意是根号下非负;logax的原始寓意是x>0,a>0且a不等于1。

例2.设x是实数,y=x-1+x+1,下列四个结论:

(1)y没有最小值;

(2)只有一个x使y取到最小值;

(3)有有限多个(不止一个)x使y取到最小值;

(4)有无穷多个x使y取到最小值。

其中正确的是()

A.1 B.2 C.3 D.4

简析:在y=x-1+x+1中含有两个绝对值,而去绝对值的一般方法到高中才学习。故此题对于初中学生来说,很难直接去掉两个绝对值符号。其实,学生如果能注意回到数学符号“”的“原始状态”,则问题就会迎刃而解了。在数轴上,每个实数x对应一个点p(如图1),则x-1+x+1的“原始状态”是点p到-1、+1表示的点A、B的距离之和PA+PB,当点p在线段AB外时,PA+PB>AB=2;当点p在线段AB上时,PA+PB=AB=2,又线段AB上有无数个点,故有无数个点个x使y取到最小值2。

■

(如图1)

2.数学符号引申的信息

“数学符号带给人们的,远比人们带给它的多”,在数学题的条件或结论中往往含有一些对探求解题思路、正确完整求解有益的信息,发掘并利用这些信息对提高解题能力,培养思维的科学性和深刻性是大有裨益的,特别地,在题设条件里地位相同的未知量暗示着它们在解答中的地位也相同,这已成为一种原理――“不充足理由律”。根据这个原理在很多时候能使我们预测到问题的解或者发现解题的途径。

例3.设实数s、t分别满足19s2+99s+1=0,t2+99t+19=0,并且st≠1,求■的值。(1999年全国初中数学竞赛试题)

简析:题旨在考查学生灵活运用化归思想和韦达定理,可以说是一个较为简单的题目,但实际上是参赛学生失分率较高的一道题,这是因为题设中给出的地位相同的两个条件,而学生却认为是两个不同的方程,不能直接运用韦达定理,于是,思维受挫。事实上,下面的解题策略恰是“不充足理由”的一个具体运用)。

解:易见s、t均不为零(由条件st≠1所引申的信息)

故方程19s2+99s+1=0可以转化为■■+99■+19=0

这与方程t2+99t+19=0的对应系数相等

因此问题就转化为以t,■为根的一元二次方程为x2+99x+19=0

由韦达定理知t+■=-99,t×■=19

从而易得■=-5

三、数学符号可以约简思维,促进思维“机械化”

这里说的思维“机械化”是指缩减解题过程,使用符号的推演可以演示思维推演。

比如在数理逻辑中,概念、判断、推理、证明已全部符号化了。

例如:每个三角形内角和都等于180°,A是三角形,所以A的内角之和等于180°。

证:令P(X)表示“X是三角形”,Q(X)表示“X的内角和等于180°”

上述推理即为?坌X(PX)Q(X),P(A)Q(A)

①?坌X(PX)Q(X)

②P(A)Q(A)

③P(A)

④P(A)∧(P( A)Q(A))

⑤Q(A)

又如关于微积分的基本公式■f(x)dx=

F(b)-F(a)f(x)是a,b上连续函数,F(x)是f(x)的原函数),这个公式以简洁的符号揭示了定积分和不定积分这两个概念间的内在联系。本来人们计算定积分必须计算积分和的极限,现在有了这一般方法,极大的约简了思维。

参考文献

[1]刘云章主编.数学符号学概论[M].合肥:安徽教育出版社,1993.

[2]宁连华等.心智图象对问题解决的认知功能探析[J].中学数学杂志.曲阜:2002.

[3]汪正东.化归是一种创造性思维[J].北京:2000.

[4]A.D.亚历山人洛夫.数学它的内容.方法和意义[M].北京:科学出版社,2001.

作者单位:江都市大桥高级中学

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