浅谈概率与数学期望问题

前言

在算法竞赛中，概率与数学期望的问题经常出现，大多数都要找出递推式子，在计算数学期望的时候，需要回忆起概率论中一个非常重要的公式：
E ( a X + b Y ) = a E ( X ) + b E ( Y ) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
因为这个公式可以推广到若干变量的时候，所以在计算数学期望的时候，可以将最后要求的数学期望，转化为若干个事件的数学期望的和，这样就可以化简问题的复杂度，进而能够编写程序。

绿豆蛙的归宿

题意

给定一个连通的有向无环图，每条边都有一个长度，每当青蛙在一个点时，等概率的走连出去的每一条边，问的是从1号点走到n号点期望的路径总长度

分析

根据题意可知，连通的有向无环图，所以无论从图中的哪个点开始起步，最终一定都会到达n号点，所以可以将从每个点起步，最终到达n号点当作一个事件，分别计算从每个点起到达n号点的期望路径长度，那么最终的结果就是累加到1号点后的期望路径长度。因此，就需要拓扑排序，把从n往1走的点的顺序找出来，因为要计算某个点走到n号点的期望长度，首先要先全部计算出它连出去的边所到达的点去往n号点的期望路径长度，然后再分别加上连出去的边长的期望值(即 1 K ∗ 边长 \frac{1}{K}*边长 K1∗边长)，最后累加起来就是从该点去往n号点的期望路径长度，最后便可以计算出从1号点到n号点的总路径期望长度。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m;cin >> n >> m;vector<vector<pair<int, int> > > G(n + 1);vector<vector<pair<int, int> > > G1(n + 1);vector<int> in(n + 1);for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v, c;cin >> u >> v >> c;G1[u].emplace_back(make_pair(v, c));G[v].emplace_back(make_pair(u, c));in[u]++;}vector<int> z;z.emplace_back(0);z.emplace_back(n);queue<int> q;q.push(n);while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();for (auto v : G[u]) {if (in[v.first]) {in[v.first]--;if (in[v.first] == 0) {q.push(v.first);z.emplace_back(v.first);}}}}vector<double> dp(n + 1);for (int i = 2; i <= n; i++) {int sz = G1[z[i]].size();for (auto v : G1[z[i]]) {dp[z[i]] = dp[z[i]] + 1.0 * (v.second * 1.0 + dp[v.first]) / (1.0 * sz);}}cout << fixed << setprecision(2) << dp[1] << '\n';return 0;
}

扑克牌

题意

给一副扑克牌，共54张( 13 ∗ 4 + 2 13*4+2 13∗4+2)，随机打乱，从上到下依次抽取，如果是黑桃、红桃、梅花或者方块就放到对应的牌区里，问得到A张黑桃、B张红桃、C张梅花、D张方块需要翻开的期望牌数最小是多少，为什么是最小？因为大王和小王可以任意放到一个牌区里当作该牌区的牌，所以就是在大小王的选择上产生最小值。

分析

首先解释什么是不可达输入状态，发现A、B、C、D的数据范围是 [ 0 , 15 ] [0,15] [0,15]，但一副扑克牌中只有13张某一花色的，即便算上大小王也只能在某两种花色中出现14或者某种花色出现15，其他情况均不可能。然后再考虑每一次翻开的牌都有什么情况，不难分析出每次只能翻出黑桃、红桃、梅花、方块、小王或大王(废话)。因此每次如果抽出的是黑桃、红桃、梅花、方块中的一种，抽出的概率就是 13 − 抽出的花色数牌堆剩余牌数 \frac{13-抽出的花色数}{牌堆剩余牌数} 牌堆剩余牌数13−抽出的花色数，期望就是所有事件的累乘。那如果抽出的是小王或者大王，抽出的概率就是 1 牌堆剩余牌数 \frac{1}{牌堆剩余牌数} 牌堆剩余牌数1，期望是抽出该张王牌后枚举放入四个花色中的一种后，所有事件的累乘的最小值。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
const double INF = 1e20;
int A, B, C, D;
double f[15][15][15][15][5][5];
double dp(int a, int b, int c, int d, int x, int y) {if (a > 13 || b > 13 || c > 13 || d > 13) {return INF;}double &v = f[a][b][c][d][x][y];if (v >= 0) {return v;}int as = a + (x == 0) + (y == 0);int bs = b + (x == 1) + (y == 1);int cs = c + (x == 2) + (y == 2);int ds = d + (x == 3) + (y == 3);if (as >= A && bs >= B && cs >= C && ds >= D) {return v = 0;}int sum = a + b + c + d + (x != 4) + (y != 4);sum = 54 - sum;if (sum <= 0) {return v = INF;}v = 1;if (a < 13) {v += (13.0 - a) / sum * dp(a + 1, b, c, d, x, y);}if (b < 13) {v += (13.0 - b) / sum * dp(a, b + 1, c, d, x, y);}if (c < 13) {v += (13.0 - c) / sum * dp(a, b, c + 1, d, x, y);}if (d < 13) {v += (13.0 - d) / sum * dp(a, b, c, d + 1, x, y);}if (x == 4) {double t = INF;for (int i = 0; i < 4; i++) {t = min(t, 1.0 / sum * dp(a, b, c, d, i, y));}v += t;}if (y == 4) {double t = INF;for (int i = 0; i < 4; i++) {t = min(t, 1.0 / sum * dp(a, b, c, d, x, i));}v += t;}return v;
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cin >> A >> B >> C >> D;memset(f, -1, sizeof(f));double ans = dp(0, 0, 0, 0, 4, 4);if (ans > INF / 2) {cout << "-1.000\n";} else {cout << fixed << setprecision(3) << ans << '\n';}return 0;
}