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在前两期中，无论我们是在推出Gamma函数不同的定义还是联系Digamma函数与欧拉常数的关系，我们其实都是在做一种美容。

虽然该等式的右侧看起来非常的复杂，但是它是经过对更复杂式子进行简化而得出的精美结论。尽管数学在生活中有很多用处，但这些用处还是无法与数学本身的艺术来媲美。今天作者将通过Gamma函数带着大家领略领略数学之美：

1、利用Gamma函数简化级数

虽然我们求不出一些级数，但是我们可以让它在不同的形式间转化，比如说下面这个：

根据

我们可以对级数进行如下构造：

设

，则

，于是我们得到变换后的级数表达式：

现在我们再用

进行换元，得到：

其中最后一项的求和号与积分号互换位置是通过控制收敛定理(Dominated convergence theorem)得到的。最后我们根据指数函数的麦克劳林展开

，将积分继续简化，得到：

我们最终通过补Gamma函数将一个级数转化为了一个简短的定积分。这还只是Gamma函数的冰山一角。

2、欧拉余元公式(Euler's reflection formula)和高斯积分(Gaussian integral)

这个式子有很多种推导方式，其中包括围道积分。但本篇文章将通过使用Gamma函数的无穷乘积形式来推导。根据Weierstrass的定义，我们有

于是我们将

和

乘在一起，得到：

我们得到这样一个无穷乘积公式，但是我们需要先偏一下题。现在我们来推导一下函数

的Fourier展开(其中

)：

其中

对于

时，

满足：

所以最后我们得到

分别代入

和

到原式，得：

令x=π，我们得到：

等式两侧同时除以

，得：

现在令

，得到余切函数的Mittag—Leffler展开：

然后我们移项并积分：

此时我们令

，则

我们再把刚才得到的结论结合在一起，就得到了欧拉余元公式(Euler's reflection formula)：

这个公式不仅将Gamma函数与三角函数结合在了一起，还给了我们一种新的方法来求解高斯积分：

换元：

，得到

在将

带入到欧拉余元公式中，得到：

于是我们得出结论：

3、用Gamma函数美化

众所周知，黎曼函数的定义是：

虽然这个级数看起来很吓唬人，但是我们可以用Gamma函数把西格玛转换成积分：

于是我们又能愉快地换元：

，接着得到：

根据等比级数的性质

，我们最终得到黎曼函数的积分形式：

4、斯特林公式(Stirling's approximation)

对于

，经过换元

，我们得到：

现在再设

，则有：

根据对于

，有

。我们不妨试试把它的二阶展开

放到原式被积函数里，得到

。此时我们对比一下两个函数的图像：用Desmos画出的图像

根据直觉，我们可以不难发现，

可以用

来近似，于是：

现在令

，所以：

根据我们在推导欧拉余元公式时得到的关于高斯积分的结论，我们得到了斯特林公式(Stirling's approximation)：

5、拉普拉斯变换与Beta函数

在此之前，我们需要先引入一个新概念——卷积(Convolution)，其中对于卷积的物理意义知乎中有很多的解答，所以本章就直接列出公式了：

现在引入新函数：

得到卷积的瑕积分表达式

，如果我们此时对卷积进行拉普拉斯变换(Laplace transform)，我们可以得到一个能够简化对二重积分：

现在令

，则

，于是我们得到：

因此，我们得出

，即卷积定理(Convolution theorem)。

我们再来研究一下幂函数拉普拉斯变换的性质(其中标注的地方进行了换元：

)：

现在我们定义Beta函数

，这个表达式看起来像两个幂函数的卷积，所以我们可以写出它的卷积表达式：

如果我们对该卷积进行拉普拉斯变换，可以得到：

现在我根据卷积定理，这个卷积等价于

。

其中Beta函数正好是t=1的情况，所以我们得到了用Gamma函数“美化”后的Beta函数表达式：

6、 黎曼函数的解析延拓

我们来看看这个积分：

其中围道

如下

)：g(s)用到的围道

我们需要先说明g(s)在整个复平面解析，再说明

时g(s)可以用

表示，最后通过g(s)重新定义

，从而实现对

的解析延拓(Analytic continuation)。

若要使g(s)解析，我们需要让围道积分每一部分都解析。由于这个证明不是本篇文章的重点，所以我只写了关于

的证明

对于

，经过这样的换元：

，我们得到：

现在对积分进行放缩：

其中对于

，

所以该积分进一步放缩成：

现在我们再来看一下导数：

经过放缩，我们可以得到导数的绝对值有界，从而说明

处的积分解析：

通过类似的方法，我们也可以说明

的积分表达式解析，从而说明g(s)解析。

现在我们来看看g(s)与黎曼函数的关系：

因为

的积分的推导过程和

相似，其推导可以作为练习。倘若我们现在让

，则我们不难得到

，所以g(s)进一步简化成了：

现在我们可以开始用Gamma函数进行美容了。根据前面推导出的欧拉余元公式(Euler's reflection formula)，我们有

，然后结合之前推导的黎曼函数积分表达式，我们得到：

于是，我们此刻重新定义黎曼函数

。因为当s=1时

不连续，而g(s)对于所有的

都解析，所以解析延拓后的黎曼函数在

中处处解析。因此，我们的黎曼函数有了新的定义：

7、黎曼函数的函数式方程 (Functional equation)

现在我们把解析延拓后的黎曼函数的围道换成下图，则

其中由于围道是顺时针方向旋转的，所以在运用留数定理(Residue theorem)时我们需要在求和公式外增加负号。通过观察，我们可以尝试证明

，即我们需要证明橙色围道在半径R趋近于正无穷时的极限为零。由于证明过程比较繁琐，本章就展示其证明思路：

1、

，其中

从0取到2π

2、对第1步里得到的积分进行放缩，得到一个用R和s表示的上限

3、R趋近于正无穷时这个积分的极限为零，使得等式成立

证明完上述内容后，我们可以用留数定理将这个围道积分进行展开。根据观察，我们发现围道包含的极点可以用

来表示，所以最终的积分可以展开为

其中，我们可以用n和s来表示每一个留数的值：

所以最后，我们把留数的表达式代入原式，得：

根据

，我们得到

。又因为

，我们得到了

的函数式方程：

因为当-s为偶数时

，所以可以发现黎曼函数的很多零点：

由于这些零点很容易被找到，它们被称为平凡零点(Trivial zeros)。而无法写成

形式的零点叫做非平凡零点(Non-trivial zeros)。经过研究，黎曼发现

很多的非平凡零点都出现在复平面上的直线

，所以他大胆猜测 所有的非平凡点的均可以写成

这便是我们大名鼎鼎的黎曼猜想(Riemann hypothesis)，也是本篇文章的收尾。

参考